106
Mécanique du point
Équilibre stable pour x = x 0 ⇐⇒ E p (x 0 ) minimale
d E P
d x
x0
= 0 et
d
2 E P
d x 2
x0
> 0
Équilibre instable pour x = x 0 ⇐⇒ E P (x 0 ) maximale
d E P
d x
x0
= 0 et
d
2 E P
d x 2
x0
< 0
Un système, livré à lui-même, évolue donc spontanément vers un état d’équilibre
qui correspond à une position pour laquelle l’énergie potentielle est minimale.
Remarque. On peut écrire que :
d E P =
− − →
grad E P . d
− →
l
avec d
− →
l vecteur déplacement élémentaire quelconque.
Pour un déplacement quelconque d
− →
l sur une surface d’énergie potentielle constante,
d E P = 0. Le vecteur
− − →
grad E P est donc perpendiculaire aux surfaces d’égale énergie potentielle (voir annexe 1, 7.2.).
Pour un déplacement perpendiculaire aux surfaces équipotentielles, vers les énergies potentielles croissantes, d E P > 0 et donc
− − →
grad E P a la même direction que le déplacement.
Le vecteur
− − →
grad E P est donc dirigé vers les énergies potentielles croissantes.
La force
− →
F = −
− − →
grad E P est donc toujours dirigée vers les énergies potentielles décroissantes.
Un système livré à lui-même évolue spontanément vers les énergies potentielles
décroissantes.
Encart 4.2. Évolution d’une bille dans le champs de pesanteur terrestre
Ce que nous venons de formuler peut s’illustrer simplement par l’exemple suivant.
Considérons une bille de masse m pouvant se déplacer sur un sol constitué d’un creux
et d’une bosse comme l’indique la figure 4.9. L’énergie potentielle de pesanteur de
cette masse ne peut varier qu’entre une valeur maximale (sommet de la bosse) et une
valeur minimale (fond du creux).
Mécanique du point
Équilibre stable pour x = x 0 ⇐⇒ E p (x 0 ) minimale
d E P
d x
x0
= 0 et
d
2 E P
d x 2
x0
> 0
Équilibre instable pour x = x 0 ⇐⇒ E P (x 0 ) maximale
d E P
d x
x0
= 0 et
d
2 E P
d x 2
x0
< 0
Un système, livré à lui-même, évolue donc spontanément vers un état d’équilibre
qui correspond à une position pour laquelle l’énergie potentielle est minimale.
Remarque. On peut écrire que :
d E P =
− − →
grad E P . d
− →
l
avec d
− →
l vecteur déplacement élémentaire quelconque.
Pour un déplacement quelconque d
− →
l sur une surface d’énergie potentielle constante,
d E P = 0. Le vecteur
− − →
grad E P est donc perpendiculaire aux surfaces d’égale énergie potentielle (voir annexe 1, 7.2.).
Pour un déplacement perpendiculaire aux surfaces équipotentielles, vers les énergies potentielles croissantes, d E P > 0 et donc
− − →
grad E P a la même direction que le déplacement.
Le vecteur
− − →
grad E P est donc dirigé vers les énergies potentielles croissantes.
La force
− →
F = −
− − →
grad E P est donc toujours dirigée vers les énergies potentielles décroissantes.
Un système livré à lui-même évolue spontanément vers les énergies potentielles
décroissantes.
Encart 4.2. Évolution d’une bille dans le champs de pesanteur terrestre
Ce que nous venons de formuler peut s’illustrer simplement par l’exemple suivant.
Considérons une bille de masse m pouvant se déplacer sur un sol constitué d’un creux
et d’une bosse comme l’indique la figure 4.9. L’énergie potentielle de pesanteur de
cette masse ne peut varier qu’entre une valeur maximale (sommet de la bosse) et une
valeur minimale (fond du creux).