Référentiels non galiléens
217
Appliquons le principe fondamental de la dynamique (équation vectorielle (1)) :
m − → a = mv
2 (R − V o t) − → u x + 2mvV o
− → u y ⇒ − → a = v
2 (R − V o t) − → u x + 2vV o
− → u y
3) Projection de l’équation (1) suivant l’axe Ox : ¨ x = v
2 (R − V o t). En intégrant 2 fois
de suite et sachant qu’à t = 0 on a ˙ x(0) = −V o et x = R :
˙ x = v
2 Rt −
v
2 V o
2
t
2
− Ket˙ x(0) = −V o
donc : ˙ x = v
2 Rt −
v
2 V o
2
t
2
− V o = −V o (1 −
v
2 R
V o
t +
v
2
2
t
2 )
˙ x(t) = −V o (1 − bt + at
2 ) où a et b sont 2 constantes
a) et b) b =
v
2 R
V o
=
2p
60
2 R
V o
= 0,00011 s
−2 et a =
v
2
2
= 0,000055 s
−1
c) Pour t ≈ T = 1 s,
(1 − bT + aT
2 ) = 1 − 0,00011 + 0,000055 = 1 − 0,000055 = 0,999945 ≈ 1.
Il est donc justifié de considérer dans un premier temps que la vitesse suivant
Ox est – V o . L’erreur relative serait de 0,0055%.
4) Projection de l’équation (1) suivant l’axe Oy :
¨ y = 2vV o ⇒ ˙ y = 2vV o t + K et ˙ y(0) = 0
donc on obtient : ¨ y = 2vV o ⇒ ˙ y = 2vV o t
en intégrant encore une fois et avec y(0) = 0 : y(t) = vV o t
2 = ct
2
a) Avec c = vV o = 0, 1 s
−2
b) ˙ y(t) = 2vV o t = 2ct
c) Pour t ≈ T = 1 s ˙ y(T) = v y (T) = 0,2 m.s
−1 à comparer avec V o = 10 m.s−
1 .
L’hypothèse revient à négliger 2 devant 100 soit une erreur relative de 2%. C’est
justifié.
d) Pour t ≈ T = 1 s on a y(T) = 0, 1 m = 10 cm > 5 cm = R C . (déviation de
10 cm sur une longueur de 10 m (1%))
Voir schéma au début de l’exercice (portion de parabole, y est fonction de t
2 et
x est fonction de t)
Conclure : la fléchette n’atteint pas la cible.
Référentiel terrestre non galiléen : usure des rails
Un train roule à vitesse constante sur une voie le long du méridien de Greenwich à
la latitude l. Montrer que la force d’inertie de Coriolis est responsable d’une usure
inégale des rails. De quel côté se trouve le rail le plus usé ?
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Appliquons le principe fondamental de la dynamique (équation vectorielle (1)) :
m − → a = mv
2 (R − V o t) − → u x + 2mvV o
− → u y ⇒ − → a = v
2 (R − V o t) − → u x + 2vV o
− → u y
3) Projection de l’équation (1) suivant l’axe Ox : ¨ x = v
2 (R − V o t). En intégrant 2 fois
de suite et sachant qu’à t = 0 on a ˙ x(0) = −V o et x = R :
˙ x = v
2 Rt −
v
2 V o
2
t
2
− Ket˙ x(0) = −V o
donc : ˙ x = v
2 Rt −
v
2 V o
2
t
2
− V o = −V o (1 −
v
2 R
V o
t +
v
2
2
t
2 )
˙ x(t) = −V o (1 − bt + at
2 ) où a et b sont 2 constantes
a) et b) b =
v
2 R
V o
=
2p
60
2 R
V o
= 0,00011 s
−2 et a =
v
2
2
= 0,000055 s
−1
c) Pour t ≈ T = 1 s,
(1 − bT + aT
2 ) = 1 − 0,00011 + 0,000055 = 1 − 0,000055 = 0,999945 ≈ 1.
Il est donc justifié de considérer dans un premier temps que la vitesse suivant
Ox est – V o . L’erreur relative serait de 0,0055%.
4) Projection de l’équation (1) suivant l’axe Oy :
¨ y = 2vV o ⇒ ˙ y = 2vV o t + K et ˙ y(0) = 0
donc on obtient : ¨ y = 2vV o ⇒ ˙ y = 2vV o t
en intégrant encore une fois et avec y(0) = 0 : y(t) = vV o t
2 = ct
2
a) Avec c = vV o = 0, 1 s
−2
b) ˙ y(t) = 2vV o t = 2ct
c) Pour t ≈ T = 1 s ˙ y(T) = v y (T) = 0,2 m.s
−1 à comparer avec V o = 10 m.s−
1 .
L’hypothèse revient à négliger 2 devant 100 soit une erreur relative de 2%. C’est
justifié.
d) Pour t ≈ T = 1 s on a y(T) = 0, 1 m = 10 cm > 5 cm = R C . (déviation de
10 cm sur une longueur de 10 m (1%))
Voir schéma au début de l’exercice (portion de parabole, y est fonction de t
2 et
x est fonction de t)
Conclure : la fléchette n’atteint pas la cible.
Référentiel terrestre non galiléen : usure des rails
Un train roule à vitesse constante sur une voie le long du méridien de Greenwich à
la latitude l. Montrer que la force d’inertie de Coriolis est responsable d’une usure
inégale des rails. De quel côté se trouve le rail le plus usé ?