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Mécanique du point
Solution
I. Le plateau est fixe (par rapport à la Terre)
x
y
O
A
o
V
→
Cible
(Centre O, rayon R C )
→
ω
Figure 8.27
1) Le référentiel plateau fait parti du référentiel terrestre galiléen.
2) Seule force :
− →
P = m − → g = −mg − → u z . En
appliquant le principe fondamental de la
dynamique on obtient : −mg − → u z = m − → a soit
− → a = −g − → u z . En projetant suivant 0x on a :
¨ x = 0. En intégrant et en tenant compte
de la vitesse initiale on aura : ˙ x = −V o . Le
mouvement est uniforme. À l’instant initial
t = 0, OA = R et donc :
˙ x = −V o ⇒ x(t) = −V o t + R = R − V o t
3) On a x(T) = 0 soit :
0 = −V o T + R ⇒ T =
R
V o
=
10
10
= 1 s
4) Le poids agit suivant la direction Oz uniquement. Il a pour effet de faire descendre
la fléchette mais ne provoque pas de déviation suivant Ox ou Oy. Cet effet n’est donc
pas visible dans le plan xOy.
II. Le plateau tourne (par rapport à la Terre)
II.A. Étude cinématique
1) Le vecteur vitesse angulaire est − → v = v − → u z . A.N : v =
2p
10.60
= 0,0105 rad.s
−1
2) La fléchette aurait un mouvement circulaire de centre O et de rayon OA = x. Il serait
uniforme. On a donc :
− →
OA = x − → u x avec la base ( − → u x , − → u y , − → u z ) mobile dans le référentiel
terrestre (correspond à la base des coordonnées polaire). On aura en dérivant et en
sachant qu’on considère x comme une constante pour ce calcul :
− →
V A = x ˙
u − → u y = xv − → u y
et donc − → a A = −xv
2− → u x . Cette accélération correspond, dans le cas où la fléchette est
en mouvement, située à l’abscisse x(t) à l’instant t, à l’expression du vecteur accélération
d’entraînement − → a e de la fléchette par rapport au référentiel terrestre. On a donc :
− → a e = −xv
2− → u x
4) L’accélération de Coriolis ou complémentaire
− → a C = 2
− →
V ∧
− →
V = 2v − → u z ∧ (−V o
− → u x ) = −2vV o
− → u y
II.B. Étude dynamique
1) Le référentiel « plateau » n’est plus galiléen. Il est en rotation par rapport au référentiel terrestre galiléen avec un vecteur vitesse angulaire − → v = v − → u z .
2) Système fléchette de masse m dans le référentiel « plateau ». On ne tient pas compte
du poids donc il reste les forces d’inertie.
La force d’inertie d’entraînement :
− →
F ie = −m − → a e = mv
2 x(t) − → u x = mv
2 (R − V o t) − → u x
La force d’inertie de Coriolis :
− →
F iC = −m − → a C = 2mvV o
− → u y .
Mécanique du point
Solution
I. Le plateau est fixe (par rapport à la Terre)
x
y
O
A
o
V
→
Cible
(Centre O, rayon R C )
→
ω
Figure 8.27
1) Le référentiel plateau fait parti du référentiel terrestre galiléen.
2) Seule force :
− →
P = m − → g = −mg − → u z . En
appliquant le principe fondamental de la
dynamique on obtient : −mg − → u z = m − → a soit
− → a = −g − → u z . En projetant suivant 0x on a :
¨ x = 0. En intégrant et en tenant compte
de la vitesse initiale on aura : ˙ x = −V o . Le
mouvement est uniforme. À l’instant initial
t = 0, OA = R et donc :
˙ x = −V o ⇒ x(t) = −V o t + R = R − V o t
3) On a x(T) = 0 soit :
0 = −V o T + R ⇒ T =
R
V o
=
10
10
= 1 s
4) Le poids agit suivant la direction Oz uniquement. Il a pour effet de faire descendre
la fléchette mais ne provoque pas de déviation suivant Ox ou Oy. Cet effet n’est donc
pas visible dans le plan xOy.
II. Le plateau tourne (par rapport à la Terre)
II.A. Étude cinématique
1) Le vecteur vitesse angulaire est − → v = v − → u z . A.N : v =
2p
10.60
= 0,0105 rad.s
−1
2) La fléchette aurait un mouvement circulaire de centre O et de rayon OA = x. Il serait
uniforme. On a donc :
− →
OA = x − → u x avec la base ( − → u x , − → u y , − → u z ) mobile dans le référentiel
terrestre (correspond à la base des coordonnées polaire). On aura en dérivant et en
sachant qu’on considère x comme une constante pour ce calcul :
− →
V A = x ˙
u − → u y = xv − → u y
et donc − → a A = −xv
2− → u x . Cette accélération correspond, dans le cas où la fléchette est
en mouvement, située à l’abscisse x(t) à l’instant t, à l’expression du vecteur accélération
d’entraînement − → a e de la fléchette par rapport au référentiel terrestre. On a donc :
− → a e = −xv
2− → u x
4) L’accélération de Coriolis ou complémentaire
− → a C = 2
− →
V ∧
− →
V = 2v − → u z ∧ (−V o
− → u x ) = −2vV o
− → u y
II.B. Étude dynamique
1) Le référentiel « plateau » n’est plus galiléen. Il est en rotation par rapport au référentiel terrestre galiléen avec un vecteur vitesse angulaire − → v = v − → u z .
2) Système fléchette de masse m dans le référentiel « plateau ». On ne tient pas compte
du poids donc il reste les forces d’inertie.
La force d’inertie d’entraînement :
− →
F ie = −m − → a e = mv
2 x(t) − → u x = mv
2 (R − V o t) − → u x
La force d’inertie de Coriolis :
− →
F iC = −m − → a C = 2mvV o
− → u y .