Oscillateurs mécaniques
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À RETENIR
➤ Définitions
On appelle oscillateur harmonique tout système dont le paramètre ou degré de liberté
x(t) peut se mettre sous la forme :
x(t) = x max cos(vt + w)
Si un oscillateur est harmonique alors
¨ x + v
2 x = 0 =⇒
⎧
⎨
⎩
x(t) = x max cos(vt + w)
x(t) = A cos vt + B sin vt
x(t) = x max e
j(vt+w)
L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique se conserve
E = E C + E P = cste
➤ Oscillateur mécanique à frottement visqueux
L’équation différentielle
¨ x +
a
m
˙ x +
k
m
x = 0
présente une solution du type :
x (t) = Ae
rt
ce qui conduit à l’équation caractéristique suivante :
r
2 +
a
m
r +
k
m
= 0
Selon la valeur du discrimant D =
a
2
m 2 − 4
k
m
=
a
2
m 2 − 4v
2
0 de l’équation caractéristique,
trois régimes sont à distinguer :
D < 0
D = 0
D > 0
Régime pseudopériodique
Régime critique
Régime apériodique
x = x + + x −
x + = Ae
−
a
2m
t e
jt
q
v
2
0 −
a 2
4m 2
x − = Be
−
a
2m
t e
−jt
q
v
2
0 −
a 2
4m 2
x = (At + B)e
−
a
2m
t
x = x + + x −
x + = Ae
−
a
2m
t e
t
q
a 2
4m 2 −v
2
0
x − = Be
−
a
2m
t e
−t
q
a 2
4m 2 −v
2
0
➤ Oscillateur mécanique à frottement solide
L’équation différentielle est valable par morceaux et s’écrit
m¨ x + kx = ´F avec ´ =
1 si ˙ x < 0
−1 si ˙ x > 0
Les solutions sont à déterminer par morceaux.