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Mécanique du point
3) a) E = Ec + EPP (z) =
1
2
mv
2 + mgz (en prenant comme zéro de l’énergie potentielle
EPP (0) = 0).
b) L’énergie potentielle croît linéairement avec l’altitude.
c) À t = 0 s , l’énergie potentielle est nulle donc : E = Ec 0 =
1
2
mv
2
o . A.n. : E = Eco = 500 J.
L’énergie cinétique sera définie à un instant quelconque par : Ec = E − EPP (z) = E − mgz , ce
qui est une fonction décroissante de l’altitude z atteinte. L’altitude maximale zmax atteinte sera
obtenue pour Ec(zmax) = 0 soit zmax = E/mg. A.n. : zmax = 5 m.
Cependant, la vitesse ne peut pas s’annuler complètement. La composante vz suivant la verticale peut s’annuler mais la composante vx = vo sin a suivant l’axe x reste constante. Donc en
réalité il existe un minimum non nul pour l’énergie cinétique : Ec min =
1
2
m(vo sin a)
2 =
1
4
mv
2
o
(avec l’angle a = 45
◦ ).
On a donc : Ec min = 500/2 = 250 J ce qui donne alors pour l’altitude maximale atteinte
zmax = (E − E c min )/mg = 2, 5 m.
d) Équation de la trajectoire (voir chapitre 2) : z =
1
2
ao
x
2
v 2
o cos 2 a
+ x tan a, et la portée d est
donnée par : d =
v
2
0
a 0
2 sin a cos a =
v
2
0
g
sin 2a. A.N. : d = 10 m.
2 1) On considère le système bateau dans le référentiel galiléen R. Les forces extérieures appliquées au bateau sont :
•
− →
P le poids du bateau ;
•
− →
R la poussée de l’eau sur le bateau ;
•
− →
f la force de frottement.
Le principe fondamental de la dynamique donne : m − → a G/R =
− →
P +
− →
R +
− →
f , ce qui conduit par
projection dans la direction x d’avancée du bateau à : m d vx/ d t = −kvx.
On en conclut que : d vx/vx = −
k
m
d t =⇒ ln vx = −
k
m
t + C
Les conditions initiales du mouvement imposent que :
C = ln vom =⇒ ln
vx
v0
= −
k
m
t =⇒ vx = voe
− k
m
t
Pour trouver la position d’arrêt, il faut intégrer la vitesse, soit :
x =
Z
vx d t = vo
Z
e
− k
m
t d t = −
vo
k
e
− k
m
t + C2
À l’instant t = 0 le bateau était en x = 0, donc : C2 =
v 0
k
=⇒ x =
v 0
k
“
1 − e
− k
m
t
”
. Le bateau
s’arrêtera au bout d’un temps infini à la position : xa =
vo
k
.
2) Par définition, le travail de la force de frottement est donné par :
W1→2
“ − →
f
”
=
Z 2
1
− →
f . d
− →
l =
Z 2
1
− →
f . − → v d t =⇒ W1→2
“ − →
f
”
= −kv
2
0
Z t 2
t 1
e
−2 k
m
t d t
soit, entre l’origine des temps et l’infini :
W1→2
“ − →
f
”
= kv
2
0
m
2k
h
e
−2
k
m
t
i ∞
0
= −
1
2
mv
2
0
ce qui représente l’opposé de l’énergie cinétique de départ (Ceci est logique dans la mesure où
seule la force de frottement travaille).
Mécanique du point
3) a) E = Ec + EPP (z) =
1
2
mv
2 + mgz (en prenant comme zéro de l’énergie potentielle
EPP (0) = 0).
b) L’énergie potentielle croît linéairement avec l’altitude.
c) À t = 0 s , l’énergie potentielle est nulle donc : E = Ec 0 =
1
2
mv
2
o . A.n. : E = Eco = 500 J.
L’énergie cinétique sera définie à un instant quelconque par : Ec = E − EPP (z) = E − mgz , ce
qui est une fonction décroissante de l’altitude z atteinte. L’altitude maximale zmax atteinte sera
obtenue pour Ec(zmax) = 0 soit zmax = E/mg. A.n. : zmax = 5 m.
Cependant, la vitesse ne peut pas s’annuler complètement. La composante vz suivant la verticale peut s’annuler mais la composante vx = vo sin a suivant l’axe x reste constante. Donc en
réalité il existe un minimum non nul pour l’énergie cinétique : Ec min =
1
2
m(vo sin a)
2 =
1
4
mv
2
o
(avec l’angle a = 45
◦ ).
On a donc : Ec min = 500/2 = 250 J ce qui donne alors pour l’altitude maximale atteinte
zmax = (E − E c min )/mg = 2, 5 m.
d) Équation de la trajectoire (voir chapitre 2) : z =
1
2
ao
x
2
v 2
o cos 2 a
+ x tan a, et la portée d est
donnée par : d =
v
2
0
a 0
2 sin a cos a =
v
2
0
g
sin 2a. A.N. : d = 10 m.
2 1) On considère le système bateau dans le référentiel galiléen R. Les forces extérieures appliquées au bateau sont :
•
− →
P le poids du bateau ;
•
− →
R la poussée de l’eau sur le bateau ;
•
− →
f la force de frottement.
Le principe fondamental de la dynamique donne : m − → a G/R =
− →
P +
− →
R +
− →
f , ce qui conduit par
projection dans la direction x d’avancée du bateau à : m d vx/ d t = −kvx.
On en conclut que : d vx/vx = −
k
m
d t =⇒ ln vx = −
k
m
t + C
Les conditions initiales du mouvement imposent que :
C = ln vom =⇒ ln
vx
v0
= −
k
m
t =⇒ vx = voe
− k
m
t
Pour trouver la position d’arrêt, il faut intégrer la vitesse, soit :
x =
Z
vx d t = vo
Z
e
− k
m
t d t = −
vo
k
e
− k
m
t + C2
À l’instant t = 0 le bateau était en x = 0, donc : C2 =
v 0
k
=⇒ x =
v 0
k
“
1 − e
− k
m
t
”
. Le bateau
s’arrêtera au bout d’un temps infini à la position : xa =
vo
k
.
2) Par définition, le travail de la force de frottement est donné par :
W1→2
“ − →
f
”
=
Z 2
1
− →
f . d
− →
l =
Z 2
1
− →
f . − → v d t =⇒ W1→2
“ − →
f
”
= −kv
2
0
Z t 2
t 1
e
−2 k
m
t d t
soit, entre l’origine des temps et l’infini :
W1→2
“ − →
f
”
= kv
2
0
m
2k
h
e
−2
k
m
t
i ∞
0
= −
1
2
mv
2
0
ce qui représente l’opposé de l’énergie cinétique de départ (Ceci est logique dans la mesure où
seule la force de frottement travaille).