Travail, puissance, énergie
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EXERCICES CORRIGÉS
1 1) Rappeler la définition de la fonction énergie potentielle dérivant d’une force
conservative.
2) En prenant l’exemple du poids d’un corps, exprimer l’énergie potentielle de pesanteur en considérant un axe vertical ascendant z.
3) Un projectile de masse m = 10 kg est lancé du sol sous une incidence de 45
◦ à une
vitesse initiale v = 10 m.s
−1 . On suppose qu’il n’y a pas de frottements.
a) Déterminer son énergie mécanique.
b) Représenter l’évolution de son énergie potentielle en fonction de la variable z
représentant l’altitude du projectile.
c) En déduire l’évolution de l’énergie cinétique du projectile et l’altitude maximale
atteinte par le projectile.
d) Déterminer l’équation de la trajectoire du projectile et trouver le point d’impact
sur le sol.
2 Un bateau de masse m ayant atteint sa vitesse de croisière v 0 , coupe ses moteurs à
l’instant t = 0. L’eau exerce une force de frottement proportionnelle à la vitesse v du
bateau.
1) À l’aide de la relation fondamentale de la dynamique, donner l’expression de la
vitesse en fonction du temps. Où le bateau s’arrêtera-t-il ?
2) Quel est le travail effectué par la force de frottement entre l’instant où le bateau
coupe ses moteurs et celui où il s’arrête ? Le comparer à l’énergie cinétique du bateau
à l’instant t = 0.
3 On considère un solide de masse m = 2 kg pouvant glisser sur un sol lisse dont le
profil est donné par z(x) = ax
2 + bx
3 + cx
4 , avec a = 0, 4, b = −0, 1 et c = 2, 2.10
−4 .
On ne considère que l’intervalle de valeurs de x compris entre −3 et 3.
1) Représenter l’évolution de la fonction énergie potentielle de pesanteur de ce solide.
2) Déterminer si le long de ce trajet le solide peut occuper des positions d’équilibre
stable et instable. On exprimera les conditions de stabilité de façon quantitative.
3) On suppose que le solide se trouve à l’instant t = 0 à la position M d’abscisse
x = 1, 5 sans vitesse initiale. Déterminer qualitativement le mouvement du solide.
Déterminer quantitativement l’évolution de l’énergie cinétique du solide en fonction
de x. Trouver la vitesse maximum atteinte par le solide et en définir la position P.
Solutions
1 1) La relation entre une force conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive est :
− − →
grad EP = −
− →
F
C
ext
2) Avec un axe vertical ascendant nous avons :
d E PP = −
− →
P . d
− →
l = mg − → u z.(d x − → u x + d z − → u z) = mg d z,
soit : EP P (z) = mgz + cste
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EXERCICES CORRIGÉS
1 1) Rappeler la définition de la fonction énergie potentielle dérivant d’une force
conservative.
2) En prenant l’exemple du poids d’un corps, exprimer l’énergie potentielle de pesanteur en considérant un axe vertical ascendant z.
3) Un projectile de masse m = 10 kg est lancé du sol sous une incidence de 45
◦ à une
vitesse initiale v = 10 m.s
−1 . On suppose qu’il n’y a pas de frottements.
a) Déterminer son énergie mécanique.
b) Représenter l’évolution de son énergie potentielle en fonction de la variable z
représentant l’altitude du projectile.
c) En déduire l’évolution de l’énergie cinétique du projectile et l’altitude maximale
atteinte par le projectile.
d) Déterminer l’équation de la trajectoire du projectile et trouver le point d’impact
sur le sol.
2 Un bateau de masse m ayant atteint sa vitesse de croisière v 0 , coupe ses moteurs à
l’instant t = 0. L’eau exerce une force de frottement proportionnelle à la vitesse v du
bateau.
1) À l’aide de la relation fondamentale de la dynamique, donner l’expression de la
vitesse en fonction du temps. Où le bateau s’arrêtera-t-il ?
2) Quel est le travail effectué par la force de frottement entre l’instant où le bateau
coupe ses moteurs et celui où il s’arrête ? Le comparer à l’énergie cinétique du bateau
à l’instant t = 0.
3 On considère un solide de masse m = 2 kg pouvant glisser sur un sol lisse dont le
profil est donné par z(x) = ax
2 + bx
3 + cx
4 , avec a = 0, 4, b = −0, 1 et c = 2, 2.10
−4 .
On ne considère que l’intervalle de valeurs de x compris entre −3 et 3.
1) Représenter l’évolution de la fonction énergie potentielle de pesanteur de ce solide.
2) Déterminer si le long de ce trajet le solide peut occuper des positions d’équilibre
stable et instable. On exprimera les conditions de stabilité de façon quantitative.
3) On suppose que le solide se trouve à l’instant t = 0 à la position M d’abscisse
x = 1, 5 sans vitesse initiale. Déterminer qualitativement le mouvement du solide.
Déterminer quantitativement l’évolution de l’énergie cinétique du solide en fonction
de x. Trouver la vitesse maximum atteinte par le solide et en définir la position P.
Solutions
1 1) La relation entre une force conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive est :
− − →
grad EP = −
− →
F
C
ext
2) Avec un axe vertical ascendant nous avons :
d E PP = −
− →
P . d
− →
l = mg − → u z.(d x − → u x + d z − → u z) = mg d z,
soit : EP P (z) = mgz + cste