Philippe GROS L'espace dans les modèles de dynamique des populations
10
On peut enfin regrouper les deux derniers termes de l'équation d'évolution de la structure
démographique et définir une fonction de migration M :
M
T
d
T
d
D
D
a t
a t
a t
a t
a t
( , , )
( , ; , ) ( , , )
[
( , ; , ) ] ( , , )
x
x
x
x
= ∫
− ∫
ξ
χ ξ
ξ
ξ
ξ χ
et pour une population fermée : ∫
=
D M
d
a t
( , , )
ξ
ξ
0
Enfin, si β(x, a, t) désigne le taux de fécondité per capita à l'instant t des individus d'âge a situés en x, la
condition aux limites des âges s'exprime :
χ
β
α χ
α
α
α
( , , )
( , , ) ( , , )
' $
x
x
x
t
t
t
issues de éniteur
par unité
0
= ∫
=
A
naissances
s g
s
d age a
de temps
et par unité de surface
d
1
2
444
3
444
• Expressions intégrées de la densité χ ; équations d'évolution.
Avant d'examiner plus en détail le noyau de transition lui-même, on remarque que la relation entre les
densités spatialisée χ(x, a, t) et non spatialisée η(a, t) s'exprime simplement :
η
χ ξ
ξ
t
a t
( , )
( , , )
a
d
D
= ∫
On peut désormais mettre en évidence quelques niveaux macroscopiques d'observation auxquels les
hétérogénéités spatiales de la population s'expriment ; pour cela, on va s'intéresser à des quantités
intégrées (sur l'âge ou sur l'espace) de la densité χ. Considérons par exemple une population dont les
individus changent d'habitat en fonction de leur âge : e.g., dans l'aire de répartition D, les différentes
classes d'âge (ou cohortes) se regroupent autour de "localisations moyennes" distinctes. Notons x
t
( , )
a
le barycentre des individus d'âge a :
x
t
a t
( , )
[
. ( , , ) ] ( )
a
d N t
D
= ∫ ξ χ ξ
ξ
(rappelons que N(t) est l'effectif total dans D, tous âges confondus, de la population) ; on montre 22 que
la variation de x
t
( , )
a
est décrite par :
∂
∂
µ
ξ ζ
ξ ζ
χ ζ
ξ ζ
χ
t
a
terme nul si le noyau T( , ) est symétrique
et si la densité est indépendante de .
t
t
t
t
t
+
1
N(t)
x
x
x
x
x x
x
( , )
( , )
( , )
( )
( , ) ( , )
(
) ( , ; , ) ( , , )
'
a
a
a
N t
dN
dt
a
a
T
a t
a t d d
D
+
+
= −
∫ ∫
−
1
2
444444 4
3
4444444
avec la condition au bord : x
x
t
t
t
( , )
( , ) ( , )
0
= ∫ A
d
β α
α
α
En d'autres termes, si le noyau T(., .) est dissymétrique [i.e., T(x 1 , x 2 ; a, t) ≠ T(x 2 , x 1 ; a, t)], le barycentre
des individus d'âge a se déplace dans D au cours du temps, et cela même si les taux de mortalité et de
fécondité µ et β sont tous les deux nuls.
22 : voir par exemple l'article de M. Rotenberg, Journal of Theoretical Biology 37 : 291 - 305 (1972).
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On peut enfin regrouper les deux derniers termes de l'équation d'évolution de la structure
démographique et définir une fonction de migration M :
M
T
d
T
d
D
D
a t
a t
a t
a t
a t
( , , )
( , ; , ) ( , , )
[
( , ; , ) ] ( , , )
x
x
x
x
= ∫
− ∫
ξ
χ ξ
ξ
ξ
ξ χ
et pour une population fermée : ∫
=
D M
d
a t
( , , )
ξ
ξ
0
Enfin, si β(x, a, t) désigne le taux de fécondité per capita à l'instant t des individus d'âge a situés en x, la
condition aux limites des âges s'exprime :
χ
β
α χ
α
α
α
( , , )
( , , ) ( , , )
' $
x
x
x
t
t
t
issues de éniteur
par unité
0
= ∫
=
A
naissances
s g
s
d age a
de temps
et par unité de surface
d
1
2
444
3
444
• Expressions intégrées de la densité χ ; équations d'évolution.
Avant d'examiner plus en détail le noyau de transition lui-même, on remarque que la relation entre les
densités spatialisée χ(x, a, t) et non spatialisée η(a, t) s'exprime simplement :
η
χ ξ
ξ
t
a t
( , )
( , , )
a
d
D
= ∫
On peut désormais mettre en évidence quelques niveaux macroscopiques d'observation auxquels les
hétérogénéités spatiales de la population s'expriment ; pour cela, on va s'intéresser à des quantités
intégrées (sur l'âge ou sur l'espace) de la densité χ. Considérons par exemple une population dont les
individus changent d'habitat en fonction de leur âge : e.g., dans l'aire de répartition D, les différentes
classes d'âge (ou cohortes) se regroupent autour de "localisations moyennes" distinctes. Notons x
t
( , )
a
le barycentre des individus d'âge a :
x
t
a t
( , )
[
. ( , , ) ] ( )
a
d N t
D
= ∫ ξ χ ξ
ξ
(rappelons que N(t) est l'effectif total dans D, tous âges confondus, de la population) ; on montre 22 que
la variation de x
t
( , )
a
est décrite par :
∂
∂
µ
ξ ζ
ξ ζ
χ ζ
ξ ζ
χ
t
a
terme nul si le noyau T( , ) est symétrique
et si la densité est indépendante de .
t
t
t
t
t
+
1
N(t)
x
x
x
x
x x
x
( , )
( , )
( , )
( )
( , ) ( , )
(
) ( , ; , ) ( , , )
'
a
a
a
N t
dN
dt
a
a
T
a t
a t d d
D
+
+
= −
∫ ∫
−
1
2
444444 4
3
4444444
avec la condition au bord : x
x
t
t
t
( , )
( , ) ( , )
0
= ∫ A
d
β α
α
α
En d'autres termes, si le noyau T(., .) est dissymétrique [i.e., T(x 1 , x 2 ; a, t) ≠ T(x 2 , x 1 ; a, t)], le barycentre
des individus d'âge a se déplace dans D au cours du temps, et cela même si les taux de mortalité et de
fécondité µ et β sont tous les deux nuls.
22 : voir par exemple l'article de M. Rotenberg, Journal of Theoretical Biology 37 : 291 - 305 (1972).