Philippe GROS L'espace dans les modèles de dynamique des populations
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• Conditions aux limites (boundary conditions, B.C.) : dans la nature, les populations
animales et végétales occupent une aire bien définie (même si elle est imparfaitement connue),
symbolisée ici par le domaine D ; notons ∂D la frontière de D. Par la suite, on s’appuiera sur
l’hypothèse qui stipule que cette frontière est suffisamment régulière pour qu’en tout point x ∈ ∂D il
n’existe qu’un seul vecteur normal à ∂D ; on notera n ce vecteur, orienté vers l’extérieur de D.
A l’exception du cas où l’on modéliserait une réaction spécifique de la frontière du domaine D (ce que
l’état des connaissances ne permet en pratique jamais de réaliser), les conditions aux limites (C.L. en
abrégé) sont typiquement linéaires. Une grande variété de C.L. peut être envisagée, mais les plus
couramment utilisées sont les suivantes :
* C.L. de Dirilichet : la densité ν(x, t) est fixée à une valeur constante sur la frontière du domaine D ;
cela implique l’existence d’un flux d’individus à travers ∂D. Le cas particulier classique est celui des
C.L. "absorbantes",
ν(x, t) = 0 pour tout x ∈ ∂D.
Avec cette condition, les individus disparaissent du modèle lorsqu’ils franchissent ∂D ; en particulier,
ils ne "s’accumulent pas" sur ∂D.
* C.L. de Neumann : dans ce cas, c’est la valeur du flux d’individus à travers ∂D qui est fixée ;
pour une population fermée dans D (pas d’émigration ni d’immigration), on impose un flux nul aux
limites :
(n.∇) ν(x, t) = 0 pour tout x ∈ ∂D,
et l’on parle alors de C.L. "réfléchissantes" ; la densité ν(x, t) sur ∂D n’est pas connue, et en général
non nulle. La distinction entre C.L. absorbantes et réfléchissantes peut être résumée par :
=
α
=
α
=
α
∂
α
=
ν
α
−
+
ν
∇
α
.
t
e
h
c
i
l
i
r
i
D
e
d
.
L
.
C
0
s,
e
t
n
a
s
s
i
h
c
é
fl
é
r
.
L
.
C
0
,
1
D
sur
)
1
(
)
.
(
1
2
1
2
1
1 n
* C.L. de Robin : condition qui impose une relation de proportionnalité entre la densité ν(x, t) et
le flux d’individus qui traverse ∂D : (n.∇) ν(x, t) = θ ν(x, t), θ constante, pour tout x ∈ ∂D.
* Mentionnons enfin les C.L. périodiques, que l’on présentera ici à l’aide d’un exemple élémentaire.
Soit le domaine D unidimensionnel, de longueur L, que l’on referme sur lui-même : on résout alors le
problème sur la circonférence d’un cercle, avec ν(0, t) = ν(L, t).
• Le modèle de réaction-diffusion.
On remarque que ce modèle est un cas particulier d'équation de bilan : si l'on suppose que la densité
spatiale ν(x, t) de la population est une fonction continue, avec x ∈ IR 3 , et que S est une surface
arbitraire enfermant un volume V :
∂
ν
ν
t
V
S
V
t d
d
t d
taux instantané de variation
du nombre d' individus dans
le volume V
flux d' individus qui
traversent la surface
S enfermant V
réaction : processus de
natalité/mortalité dans V
∫
= − ∫
+ ∫
∈
∈
∈
x
x
x
x
x
J x
x
x
( , )
.
( , , )
1
2
44 4
3
444
1 2
4 4
3
44
1
2
44 4
3
444
f
qui s'écrit encore : ∫
+ ∇ −
=
⇒
+ ∇ =
∈
x
x
J
x
x
J
V arbitraire
V
t
t
t
t d
[
( , )
.
( , , ) ]
.
( )
∂ ν
ν
∂ ν
ν
f
f
0
Quand le flux d'individus J est proportionnel au gradient local de la densité ν, i.e., J = − K(x)∇ν(x, t), le
terme de diffusion −∇.(K∇ν) apparaît alors dans l'équation de bilan. Le coefficient de diffusion K(x)
quantifie l'efficacité de la dispersion des individus qui se déplacent des plus fortes vers les plus faibles
valeurs de la densité spatiale ν (d'où le signe −). Lorsque ce coefficient K ne dépend pas de x (i.e., K est
constant), on obtient simplement : ∂ t ν = f + K∇ 2 ν.
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• Conditions aux limites (boundary conditions, B.C.) : dans la nature, les populations
animales et végétales occupent une aire bien définie (même si elle est imparfaitement connue),
symbolisée ici par le domaine D ; notons ∂D la frontière de D. Par la suite, on s’appuiera sur
l’hypothèse qui stipule que cette frontière est suffisamment régulière pour qu’en tout point x ∈ ∂D il
n’existe qu’un seul vecteur normal à ∂D ; on notera n ce vecteur, orienté vers l’extérieur de D.
A l’exception du cas où l’on modéliserait une réaction spécifique de la frontière du domaine D (ce que
l’état des connaissances ne permet en pratique jamais de réaliser), les conditions aux limites (C.L. en
abrégé) sont typiquement linéaires. Une grande variété de C.L. peut être envisagée, mais les plus
couramment utilisées sont les suivantes :
* C.L. de Dirilichet : la densité ν(x, t) est fixée à une valeur constante sur la frontière du domaine D ;
cela implique l’existence d’un flux d’individus à travers ∂D. Le cas particulier classique est celui des
C.L. "absorbantes",
ν(x, t) = 0 pour tout x ∈ ∂D.
Avec cette condition, les individus disparaissent du modèle lorsqu’ils franchissent ∂D ; en particulier,
ils ne "s’accumulent pas" sur ∂D.
* C.L. de Neumann : dans ce cas, c’est la valeur du flux d’individus à travers ∂D qui est fixée ;
pour une population fermée dans D (pas d’émigration ni d’immigration), on impose un flux nul aux
limites :
(n.∇) ν(x, t) = 0 pour tout x ∈ ∂D,
et l’on parle alors de C.L. "réfléchissantes" ; la densité ν(x, t) sur ∂D n’est pas connue, et en général
non nulle. La distinction entre C.L. absorbantes et réfléchissantes peut être résumée par :
=
α
=
α
=
α
∂
α
=
ν
α
−
+
ν
∇
α
.
t
e
h
c
i
l
i
r
i
D
e
d
.
L
.
C
0
s,
e
t
n
a
s
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i
h
c
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.
L
.
C
0
,
1
D
sur
)
1
(
)
.
(
1
2
1
2
1
1 n
* C.L. de Robin : condition qui impose une relation de proportionnalité entre la densité ν(x, t) et
le flux d’individus qui traverse ∂D : (n.∇) ν(x, t) = θ ν(x, t), θ constante, pour tout x ∈ ∂D.
* Mentionnons enfin les C.L. périodiques, que l’on présentera ici à l’aide d’un exemple élémentaire.
Soit le domaine D unidimensionnel, de longueur L, que l’on referme sur lui-même : on résout alors le
problème sur la circonférence d’un cercle, avec ν(0, t) = ν(L, t).
• Le modèle de réaction-diffusion.
On remarque que ce modèle est un cas particulier d'équation de bilan : si l'on suppose que la densité
spatiale ν(x, t) de la population est une fonction continue, avec x ∈ IR 3 , et que S est une surface
arbitraire enfermant un volume V :
∂
ν
ν
t
V
S
V
t d
d
t d
taux instantané de variation
du nombre d' individus dans
le volume V
flux d' individus qui
traversent la surface
S enfermant V
réaction : processus de
natalité/mortalité dans V
∫
= − ∫
+ ∫
∈
∈
∈
x
x
x
x
x
J x
x
x
( , )
.
( , , )
1
2
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3
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44 4
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f
qui s'écrit encore : ∫
+ ∇ −
=
⇒
+ ∇ =
∈
x
x
J
x
x
J
V arbitraire
V
t
t
t
t d
[
( , )
.
( , , ) ]
.
( )
∂ ν
ν
∂ ν
ν
f
f
0
Quand le flux d'individus J est proportionnel au gradient local de la densité ν, i.e., J = − K(x)∇ν(x, t), le
terme de diffusion −∇.(K∇ν) apparaît alors dans l'équation de bilan. Le coefficient de diffusion K(x)
quantifie l'efficacité de la dispersion des individus qui se déplacent des plus fortes vers les plus faibles
valeurs de la densité spatiale ν (d'où le signe −). Lorsque ce coefficient K ne dépend pas de x (i.e., K est
constant), on obtient simplement : ∂ t ν = f + K∇ 2 ν.