15 Combinatoire et dénombrement
Mots clés
Image, image réciproque, ensemble dénombrable, ensemble au plus dénombrable, ensemble fini
et cardinal, propriét és des cardinaux., factorielle, permutation. arrangement. combinaison .
1. IMAGES ET IMAGES RÉCIPROQUES
L'ensemble des applications d' un ensemble E vers un ensemble Fest noté '.r(E, F) ou F E. Soit
f de FE, A une partie de E e t B une partie de F.
a) Image
Nous appelons image de A par f l'ensemble noté f(A) défini par:
f(A) = {!I E F/3x E A tel q ue y= f(x) ).
b) Image réciproque
Nous appelons image réciproque de B par f l'ensemble noté F ' (B) défini par:
F ' (B) = lx E E/f(x) E 8f.
c) Règles de ca lcul
Soit f une application de E dans F e t A et Bdeux parties de F.
i. 1c0) = 0.r' c0) = 0.
2. F
1 (A U B) = F
1 (A) UF
1 (B).
3. 1-' (A n 8) = 1- 1 (A)n1- 1 (B).
4. F
1 (A'") = (F'(A)r où Ac est le complémentaire de A dans F et (F'(A)r est le complémentaire de J- 1 (A) dans E.
2. ENSEMBLE DÉNOMBRABLE. ENSEMBLE AU PLUS DÉNOMBRABLE
a) Définitions
• Ensemble dénombrable
Nous appelons dénombrable un ensemble E pour lequel il existe une application bijective de
E dans N.
Remarque
Un ensembl e dénombrable est donc infini .
• Ensemble a u plus dénombrable
Nous appelons au pllL~ dénombrable un ensemble E pour lequel il existe une application
bijective de E dans une partie de N.
Remarque
Un ensemble au plus dénombrable est donc un ensemble fini ou un ensemble dénombrable au sens
de la définition précédente.
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