Fiche 13 • Mesures de liaison entre deux caractères
Remarques
1. Pour u n échant illon, le coefficient d'association de Pearson 41 2 (X. Y) est défini à partir des effectifs
observés e t. noté \!2(X. Y)(obs).
2. Ce coefficient 41 2 (X. Y) ne dépend plus de la t aill e de l 'éch anti ll on o u de l a popul ation q u'i l sert à
étu dier et est nul l orsque le coefficient d'associatie>n x 2 (X. Y) est n ul.
3. LIAISON EN TRE UN CARACTÈRE QUALITATIF ET UN CARACTÈRE QUANTITATI F
Il existe un coefficient q ui mesure le degré de liaison e ncre un caractère qualitatif e c un caractère
q uantitatif: c 'est le rapport de corrélation.
a) Rapport de corrélation théorique
S oie Y un caractère quantitatif ec X un caractère q ualitatif. La mesure, ici non symétrique, de la
liaison e ncre X ec Y est le r apport de corrélation théorique, noté ifrix· défini par :
?
Var (B(YIX))
1/ï,x = Va r( Y)
où B(YIX) est l'espérance conditionnelle de Y sachant X, voir Fiche 34.
Remarques
1. Le rapport de corrélat ion t héoriq ue est touj ours co mpris entr e 0 et 1.
2. Si l es deux car actèr es X et Y sont indépendants, alo rs le rapport de corrél ation t héoriqu e ~x est n ul.
la réciproque de cette propositio n est fa usse.
3. Ce co efficient est parfois appel é le r apport de co rré lat ion t héo rique en opposi ti on avec le r apport de
co rrélat ion empi rique q ui va êt r e défini ci-dessou s ..
4. Il ne faut pas confond re ce coefficient avec l e coeificient de corrélati on linéair e t héorique. Il existe
néanmoins une r elati on entr e ces deux quant it és : p
2 (X. Y) -' ~1><·
b) Rapport de corrélation empirique
S oie X un caractère q ualitatif à ''modalités e c 11 1 , ••• • " P les effectifs observés. Soie y 1 , _ •• , y P les
moyennes de Y pour chaq ue modalité e c !ï,, la moyenne totale.
Le r apport d e corrélation empirique est égal à :
où
p
.L: Il; (y, - !ï,,)2
.,
i=I
11;,x(obs) = - -- 2 -( - ) -ns,, y
p
11s;,(y) = .L: 111 [ (jï 1 - !ï. )
2 + .~]
i= I
e c les .~ sont les variances du c aractère quantitatif Y à l 'intérieur de chaque modali té.
Remarques
1. Le rapport de corrélat ion empiriq ue est touj ours compris entr e 0 et 1.
2. Il ne faut pas co nfondr e ce co efficient avec l e coefficient de corrél ation linéair e empirique. Il exist e
néanmoins une r elati on entr e ces deux quant it és : r2(X. Y) -' r(yl><(obs).
30
Remarques
1. Pour u n échant illon, le coefficient d'association de Pearson 41 2 (X. Y) est défini à partir des effectifs
observés e t. noté \!2(X. Y)(obs).
2. Ce coefficient 41 2 (X. Y) ne dépend plus de la t aill e de l 'éch anti ll on o u de l a popul ation q u'i l sert à
étu dier et est nul l orsque le coefficient d'associatie>n x 2 (X. Y) est n ul.
3. LIAISON EN TRE UN CARACTÈRE QUALITATIF ET UN CARACTÈRE QUANTITATI F
Il existe un coefficient q ui mesure le degré de liaison e ncre un caractère qualitatif e c un caractère
q uantitatif: c 'est le rapport de corrélation.
a) Rapport de corrélation théorique
S oie Y un caractère quantitatif ec X un caractère q ualitatif. La mesure, ici non symétrique, de la
liaison e ncre X ec Y est le r apport de corrélation théorique, noté ifrix· défini par :
?
Var (B(YIX))
1/ï,x = Va r( Y)
où B(YIX) est l'espérance conditionnelle de Y sachant X, voir Fiche 34.
Remarques
1. Le rapport de corrélat ion t héoriq ue est touj ours co mpris entr e 0 et 1.
2. Si l es deux car actèr es X et Y sont indépendants, alo rs le rapport de corrél ation t héoriqu e ~x est n ul.
la réciproque de cette propositio n est fa usse.
3. Ce co efficient est parfois appel é le r apport de co rré lat ion t héo rique en opposi ti on avec le r apport de
co rrélat ion empi rique q ui va êt r e défini ci-dessou s ..
4. Il ne faut pas confond re ce coefficient avec l e coeificient de corrélati on linéair e t héorique. Il existe
néanmoins une r elati on entr e ces deux quant it és : p
2 (X. Y) -' ~1><·
b) Rapport de corrélation empirique
S oie X un caractère q ualitatif à ''modalités e c 11 1 , ••• • " P les effectifs observés. Soie y 1 , _ •• , y P les
moyennes de Y pour chaq ue modalité e c !ï,, la moyenne totale.
Le r apport d e corrélation empirique est égal à :
où
p
.L: Il; (y, - !ï,,)2
.,
i=I
11;,x(obs) = - -- 2 -( - ) -ns,, y
p
11s;,(y) = .L: 111 [ (jï 1 - !ï. )
2 + .~]
i= I
e c les .~ sont les variances du c aractère quantitatif Y à l 'intérieur de chaque modali té.
Remarques
1. Le rapport de corrélat ion empiriq ue est touj ours compris entr e 0 et 1.
2. Il ne faut pas co nfondr e ce co efficient avec l e coefficient de corrél ation linéair e empirique. Il exist e
néanmoins une r elati on entr e ces deux quant it és : r2(X. Y) -' r(yl><(obs).
30