37 Échantillonnage - Modèles
statistiques
Mots clés --------------------------------~
~chantillon aléatoire, statistique de l'échantillon. échantillonnage., modèle statistique. modèles
paramétrique, non paramétrique et semi-paramétrique.
1. INTRODUCTION
Le problème de l'estimation est l'impossibilité de connaître exactement la valeur d'un paramètre inconnn noté B. Ce problème est très général ec a des a~peccs distincts. Les observations,
par exemple obtenues à partir d'une méthode d'échantillonnage, permeccenc de construire une
estimation de B. Ainsi c haque observation est la valeur d'une variable aléatoire X dont la loi dépend de B. Cela revient à doter l'état d e la nature inconnu d'un modèle probabiliste. Ce dernier
est complété par un modèle d 'éch antillonnage décrivant la manière donc les observations sont
recueillies.
2. ÉCHANTILLONNAGE
a) Échantillon aléatoire
Soie X une variable aléatoire réelle. Un échantillon aléatoire d'effectif /1 ;;. 1 est Lill vecteur
aléatoire X 0 = (X,,X2, ... ,X,,) à /1 composantes qui sont /1 variables aléatoires indépendances
suivant la même loi que X, appelée variable a léatoire parente.
Remarque
Pour des raisons de commodité., nous avons supposé q ue les X; sont mutuellement indépendantes. Dans
certains cas, l'indépendance deux à deux sera suffisante.
b) Statistique de l'êchantillon
Toute variable aléatoire T, fonction de l'échantillon aléatoire X 0 = (X 1 ,X2, ... , X,,), est appelée
statistique de l'échantillon.
Remarques
1. Une statistique peut être à valeurs dans R ou RP. Dans le dernier cas, nous parlerons de statistique
vectorielle.
2. La difficulté de cette n otion est la suivante : nous avons une double conception. qui est la base de
la statistique mathématique. Les valeurs observées (x 1 ,. xi, ...• Xn ) (noter que ce sont des minuscules)
constituent n réalisations indépendantes d'une variable aléatoire X ou encore, une réalisation unique
du vecteur aléatoire Xn = (X 1 ,. Xi, ...• Xn) à n composantes où les X; sont n variables aléatoires indépendantes -et de même loi.
c) Théorie de l'échantillonnage
La théorie de l'échantillonnage se propose d'étudier les propriétés du vecteur aléatoire à /1 composantes et des caractéristiques le résumant, encore appelées statistiques, à partir de la distribution
supposée connue de la variable parente X, et d'éttudieren particulier ce qui se passe lorsque la
caille de l'échantillon est de plus en plus élevée. C'est généralement ce qui préoccupe les statisticiens bien q ue depuis quelques années des théories concernant les petits échantillons se développent également. Pour cela, nous renvoyons le lecteur à des ouvrages spécialisés sur la théorie
des petits éch antillons qui ne sera pas abordée.
108
statistiques
Mots clés --------------------------------~
~chantillon aléatoire, statistique de l'échantillon. échantillonnage., modèle statistique. modèles
paramétrique, non paramétrique et semi-paramétrique.
1. INTRODUCTION
Le problème de l'estimation est l'impossibilité de connaître exactement la valeur d'un paramètre inconnn noté B. Ce problème est très général ec a des a~peccs distincts. Les observations,
par exemple obtenues à partir d'une méthode d'échantillonnage, permeccenc de construire une
estimation de B. Ainsi c haque observation est la valeur d'une variable aléatoire X dont la loi dépend de B. Cela revient à doter l'état d e la nature inconnu d'un modèle probabiliste. Ce dernier
est complété par un modèle d 'éch antillonnage décrivant la manière donc les observations sont
recueillies.
2. ÉCHANTILLONNAGE
a) Échantillon aléatoire
Soie X une variable aléatoire réelle. Un échantillon aléatoire d'effectif /1 ;;. 1 est Lill vecteur
aléatoire X 0 = (X,,X2, ... ,X,,) à /1 composantes qui sont /1 variables aléatoires indépendances
suivant la même loi que X, appelée variable a léatoire parente.
Remarque
Pour des raisons de commodité., nous avons supposé q ue les X; sont mutuellement indépendantes. Dans
certains cas, l'indépendance deux à deux sera suffisante.
b) Statistique de l'êchantillon
Toute variable aléatoire T, fonction de l'échantillon aléatoire X 0 = (X 1 ,X2, ... , X,,), est appelée
statistique de l'échantillon.
Remarques
1. Une statistique peut être à valeurs dans R ou RP. Dans le dernier cas, nous parlerons de statistique
vectorielle.
2. La difficulté de cette n otion est la suivante : nous avons une double conception. qui est la base de
la statistique mathématique. Les valeurs observées (x 1 ,. xi, ...• Xn ) (noter que ce sont des minuscules)
constituent n réalisations indépendantes d'une variable aléatoire X ou encore, une réalisation unique
du vecteur aléatoire Xn = (X 1 ,. Xi, ...• Xn) à n composantes où les X; sont n variables aléatoires indépendantes -et de même loi.
c) Théorie de l'échantillonnage
La théorie de l'échantillonnage se propose d'étudier les propriétés du vecteur aléatoire à /1 composantes et des caractéristiques le résumant, encore appelées statistiques, à partir de la distribution
supposée connue de la variable parente X, et d'éttudieren particulier ce qui se passe lorsque la
caille de l'échantillon est de plus en plus élevée. C'est généralement ce qui préoccupe les statisticiens bien q ue depuis quelques années des théories concernant les petits échantillons se développent également. Pour cela, nous renvoyons le lecteur à des ouvrages spécialisés sur la théorie
des petits éch antillons qui ne sera pas abordée.
108