_
‘
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Travail et énergie
Recrproqüement, on peut demontrer que la cond1t10n expr1mee par l’Eq, (820)peut
être adoptée comme la dénition d’une force dérivant d’un potentiel. En d’autres
termes,si une force F satisfait à l’Eq. (8.20) pour un chemin ferme quelconque, on peut
démontrer alors que l’Eq. (8.17) est correcte.
Pour satisfaire à l’Eq. (8.17) il est necessaire que
"=
F ', dr = —dE,,,
(821)
'
'
B
W = /
F - dr = — / dEp
_
A
.
A
.
,= — = E… — Ep.B,
en accord avec l’Eq. (8.17 ). Remarquons que le signe moins apparaissant dans l’Eq
(8.21)est nécessaire sinous voulons obtenir EM —
au lieu de
——
’
Comme F - dr = F ds cos 6, où 9 est l’angle entre la force et le déplacement, nous
pouvons écrire à la place_de l’Eq. (8.21)
’
.
…
F cos 6_ = =
p
(822)
"
-
ï
'
ds
‘
Or,,comme nous l’avons expliqué 'à propos de la Fig. 8—1, F cos @ est la composantde
la force suivant la direction du déplacement ds; donc, si nous connaissons E,,(x,:y,,z)
nous pouVons_jobtenir la Composante de F suivant n’importe quelle direction en calculant.
-
la. quantité*— 'dE,-, /ds qui 'est la dérivée changée de signe de EP par rapportà la d1stance.
‘
comptæ suivant cette direction.
dérivée directionnelle de Ep. Quand un
vecteur est tel que sa composante suivant une direction quelconque est egalealadenvee
directionnee d’une fonction suivant cette direction, .le vecteur est appelé le gradient
dela fonction. Nous disons donc que F est
gradient changé de signe de
'
ecrivons l’Eq. (8.22) sous la forme générale:
.
ou,_«,
gradient. SI nous nous 1nteressons aux composantes
de
F
OX,
F c.9s
0 dans
(8,22) devient FFyetF
-
,
et le deplacementds devient respectivement dx, dy, dz, de sorte que
_
«E
>
F.=—
p
-
Fy= — ‘—fp» : Fz= —— —pz
-
(823)
Oil.
……I
..
"
-
'
.
-
.
‘
-
\:
'
_
»,
'
’F= —grad E =—u
——p—— a——Ep— _ôEp
.
,
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-
'
,
“y
,
uz
……
,
=
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61 611
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Remarquonsqueï°rsquen@usecrmnslEq<824)nousutlsons1esymboledederwaü°
*
-
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