Contents
XI
4.6 The Algebraic Equation System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 . Solution of Linear Equation Systems
91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Introduction
91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Direct Methods
92
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Gauss Elimination
92
5.2.2 LU Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.3 Tridiagonal Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Cyclic Reduction
96
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Iterative Methods
97
5.3.1 Basic Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Some Basic Methods
100
5.3.4 Incomplete LU Decomposition: Stone's Method . . . . . . 101
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 AD1 and Other Splitting Methods
105
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6 Conjugate Gradient Methods
107
. . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7 Biconjugate Gradients and CGSTAB
110
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.8 Multigrid Methods
112
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.9 Other Iterative Solvers
116
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Coupled Equations and Their Solution
116
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Simultaneous Solution
117
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Sequential Solution
117
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Under-Relaxation
118
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Non-Linear Equations and their Solution
119
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Newton-like Techniques
119
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Other Techniques
121
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Deferred-Correction Approaches
122
. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Convergence Criteria and Iteration Errors
124
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Examples
129
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 . Methods for Unsteady Problems
135
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Introduction
135
. . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Methods for Initial Value Problems in ODES
135
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Two-Level Methods
135
6.2.2 Predictor-Corrector and Multipoinf Methods . . . . . . . . . 138
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Runge-Kutta Methods
140
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Other Methods
142
. . . . . . . . . . . . .
6.3 Application to the Generic Transport Equation
142
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Explicit Methods
143
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Implicit Methods
148
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Other Methods
151
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Examples
152