5. LE PRINCIPE DE R ´
EFLEXION
35
D´ emonstration. — Le d´ eveloppement de (z 1 + z 2 + · · · + z k )
p est ´ egal
` a
z i 1 z i 2 . . . z i p , o` u la somme est ´ etendue `
a toutes les suites (i 1 , i 2 , . . . , i p )
dont les termes sont pris dans [ k ]. Il y a donc k
p telles suites, donc k
p
monˆ omes dans la sommation. Lorsqu’on r´ earrange les lettres d’un monˆ ome
z i 1 z i 2 . . . z i p suivant les indices croissants, on obtient un monˆ ome de la
forme z 1
n 1 z 2
n 2 . . . z k
n k , o` u les n i satisfont les relations (4.6.3). D’apr` es la
Proposition 4.6.1, le nombre de monˆ omes z i 1 z i 2 . . . z i p de la somme initiale
´ egaux `
a z 1
n 1 z 2
n 2 . . . z k
n k , est pr´ ecis´ ement ´ egal au coefficient multinomial
p
n 1 ,n 2 ,...,n k
.
Remarque. — Le nombre de termes distincts dans la somme de l’identit´ e
(4.6.2) est ´ egal au nombre de solutions de l’´ equation
n 1 + n 2 + · · · + n k = p,
c’est-` a-dire, d’apr` es la Proposition 4.5.2, `
a
p+k−1
p
.
Remarque. — L’identit´ e multinomiale intervient dans de nombreux calculs explicites. Son ´ ecriture effective, mˆ eme pour de petites valeurs de k et
p, remplirait quantit´ es d’´ ecrans ! Le nombre de termes
p+k−1
p
croˆ ıt ´ evidemment tr` es vite.
5. Le principe de r´ eflexion. — Dans ce paragraphe, nous nous
proposons de montrer, `
a propos du probl` eme du scrutin, comment une
interpr´ etation g´ eom´ etrique des suites finies de nombres permet une ´ evaluation
ais´ ee de certains cardinaux et de l` a de certaines probabilit´ es d’´ ev` enements.
Soient n un entier fix´ e (n ≥ 1) et ω = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) une suite finie, telle
que chaque x i soit ´ egal ` a 1 ou `
a −1. On note p(ω) = p (resp. q(ω) = q) le
nombre de +1 (resp. −1) dans la suite ω, de sorte que l’on a p + q = n.
On appelle sommes partielles associ´ ees ` a ω, les sommes s k = x 1 + x 2 +
· · · + x k pour k = 1, 2, . . . , n. Par convention, s 0 = 0. Naturellement
s k − s k−1 = x k = ±1 (1 ≤ k ≤ n)
et
s n = p − q.
On peut identifier ω ` a une ligne polygonale (ou chemin polygonal ) trac´ ee dans
un plan euclidien muni de deux axes rectangulaires, l’axe horizontal des t
et l’axe vertical des s, de la fa¸ con suivante : on joint par une ligne droite
successivement les points du plan : (0, 0), (1, s 1 ), (2, s 2 ), . . . , (n, s n ). On
dit que l’entier n est la longueur du chemin. Il y a, ´ evidemment, 2
n chemins
de longueur n joignant (0, 0) `
a un point de coordonn´ ees (n, s) (−n ≤ s ≤ n).
Les chemins ainsi form´ es ne sont constitu´ es que de courts segments SONE et NO-SE. Notons C l’ensemble de tous les chemins constitu´ es par ces
seuls segments. Un chemin ω de C allant de (0, 0) `
a (n, s) doit satisfaire les
´ equations :
(5.1)
p(ω) + q(ω) = n ;
p(ω) − q(ω) = s ;
ou encore :
(5.2)
p(ω) =
n + s
2
et q(ω) =
n − s
2
.
EFLEXION
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D´ emonstration. — Le d´ eveloppement de (z 1 + z 2 + · · · + z k )
p est ´ egal
` a
z i 1 z i 2 . . . z i p , o` u la somme est ´ etendue `
a toutes les suites (i 1 , i 2 , . . . , i p )
dont les termes sont pris dans [ k ]. Il y a donc k
p telles suites, donc k
p
monˆ omes dans la sommation. Lorsqu’on r´ earrange les lettres d’un monˆ ome
z i 1 z i 2 . . . z i p suivant les indices croissants, on obtient un monˆ ome de la
forme z 1
n 1 z 2
n 2 . . . z k
n k , o` u les n i satisfont les relations (4.6.3). D’apr` es la
Proposition 4.6.1, le nombre de monˆ omes z i 1 z i 2 . . . z i p de la somme initiale
´ egaux `
a z 1
n 1 z 2
n 2 . . . z k
n k , est pr´ ecis´ ement ´ egal au coefficient multinomial
p
n 1 ,n 2 ,...,n k
.
Remarque. — Le nombre de termes distincts dans la somme de l’identit´ e
(4.6.2) est ´ egal au nombre de solutions de l’´ equation
n 1 + n 2 + · · · + n k = p,
c’est-` a-dire, d’apr` es la Proposition 4.5.2, `
a
p+k−1
p
.
Remarque. — L’identit´ e multinomiale intervient dans de nombreux calculs explicites. Son ´ ecriture effective, mˆ eme pour de petites valeurs de k et
p, remplirait quantit´ es d’´ ecrans ! Le nombre de termes
p+k−1
p
croˆ ıt ´ evidemment tr` es vite.
5. Le principe de r´ eflexion. — Dans ce paragraphe, nous nous
proposons de montrer, `
a propos du probl` eme du scrutin, comment une
interpr´ etation g´ eom´ etrique des suites finies de nombres permet une ´ evaluation
ais´ ee de certains cardinaux et de l` a de certaines probabilit´ es d’´ ev` enements.
Soient n un entier fix´ e (n ≥ 1) et ω = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) une suite finie, telle
que chaque x i soit ´ egal ` a 1 ou `
a −1. On note p(ω) = p (resp. q(ω) = q) le
nombre de +1 (resp. −1) dans la suite ω, de sorte que l’on a p + q = n.
On appelle sommes partielles associ´ ees ` a ω, les sommes s k = x 1 + x 2 +
· · · + x k pour k = 1, 2, . . . , n. Par convention, s 0 = 0. Naturellement
s k − s k−1 = x k = ±1 (1 ≤ k ≤ n)
et
s n = p − q.
On peut identifier ω ` a une ligne polygonale (ou chemin polygonal ) trac´ ee dans
un plan euclidien muni de deux axes rectangulaires, l’axe horizontal des t
et l’axe vertical des s, de la fa¸ con suivante : on joint par une ligne droite
successivement les points du plan : (0, 0), (1, s 1 ), (2, s 2 ), . . . , (n, s n ). On
dit que l’entier n est la longueur du chemin. Il y a, ´ evidemment, 2
n chemins
de longueur n joignant (0, 0) `
a un point de coordonn´ ees (n, s) (−n ≤ s ≤ n).
Les chemins ainsi form´ es ne sont constitu´ es que de courts segments SONE et NO-SE. Notons C l’ensemble de tous les chemins constitu´ es par ces
seuls segments. Un chemin ω de C allant de (0, 0) `
a (n, s) doit satisfaire les
´ equations :
(5.1)
p(ω) + q(ω) = n ;
p(ω) − q(ω) = s ;
ou encore :
(5.2)
p(ω) =
n + s
2
et q(ω) =
n − s
2
.