CHAPITRE 18
LE R ˆ
OLE CENTRAL DE LA LOI NORMALE ;
LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
Le th´ eor` eme central limit donne des conditions suffisantes dans lesquelles une somme finie de variables al´ eatoires r´ eelles convenablement normalis´ ee suit approximativement une loi normale. Comme d´ ecrit dans l’aper¸ cu
historique reproduit ci-apr` es, la mise en place de ce th´ eor` eme apparaˆ ıt d` es le
dix-neuvi` eme si` ecle avec Gauss et Laplace, mais il faut attendre le vingti` eme
si` ecle pour que les crit` eres d’application soient explicit´ es.
1. Aper¸ cu historique. — La loi normale est associ´ ee aux noms prestigieux de Gauss et de Laplace ; ces math´ ematiciens ont tous deux introduit
cette loi, mais leurs approches ´ etaient fondamentalement diff´ erentes.
L’approche de Gauss. — La loi normale a ´ et´ e introduite par Gauss `
a propos d’un probl` eme d’estimation de param` etre.
1 Soit θ une quantit´ e (inconnue) dont n observations ind´ ependantes ont fourni les n approximations x 1 ,
. . . , x n . Gauss se propose d’estimer θ ` a partir des seules valeurs observ´ ees
x 1 , . . . , x n .
a) Une premi` ere estimation de θ est fournie par la m´ ethode des moindres
carr´ es ; elle consiste ` a prendre pour estimation de θ la valeur ˜
θ qui r´ ealise
le minimum de la fonction θ →
n
k=1 (x k − θ)
2 ; on a imm´ ediatement
˜
θ = (x 1 + · · · + x n )/n = x.
b) Gauss propose une autre m´ ethode, qui, dans le langage actuel, est
connue sous le nom de m´ ethode du maximum de vraisemblance. Il introduit
une fonction f (x) qui repr´ esente la (densit´ e de) probabilit´ e de l’erreur x
commise lors d’une observation ; il fait sur f les hypoth` eses (H) suivantes :
f > 0,
+∞
−∞
f (x) dx = 1 ;
f est paire (i.e. on commet aussi souvent une erreur positive qu’une
erreur n´ egative) ;
f (x) est d´ ecroissante lorsque |x| → +∞ (i.e. on commet moins souvent
de grandes erreurs que des petites).
Les erreurs aff´ erentes aux valeurs observ´ ees x 1 , . . . , x n de θ sont x 1 − θ,
. . . , x n − θ, de sorte que la (densit´ e de) probabilit´ e pour que ces erreurs
1 Gauss (C.F.). — Theoria motus corporum coelestium, Liber II, Section III, ; surtout
les paragraphes 175, 176 , 177, 178.
LE R ˆ
OLE CENTRAL DE LA LOI NORMALE ;
LE TH ´
EOR `
EME CENTRAL LIMIT
Le th´ eor` eme central limit donne des conditions suffisantes dans lesquelles une somme finie de variables al´ eatoires r´ eelles convenablement normalis´ ee suit approximativement une loi normale. Comme d´ ecrit dans l’aper¸ cu
historique reproduit ci-apr` es, la mise en place de ce th´ eor` eme apparaˆ ıt d` es le
dix-neuvi` eme si` ecle avec Gauss et Laplace, mais il faut attendre le vingti` eme
si` ecle pour que les crit` eres d’application soient explicit´ es.
1. Aper¸ cu historique. — La loi normale est associ´ ee aux noms prestigieux de Gauss et de Laplace ; ces math´ ematiciens ont tous deux introduit
cette loi, mais leurs approches ´ etaient fondamentalement diff´ erentes.
L’approche de Gauss. — La loi normale a ´ et´ e introduite par Gauss `
a propos d’un probl` eme d’estimation de param` etre.
1 Soit θ une quantit´ e (inconnue) dont n observations ind´ ependantes ont fourni les n approximations x 1 ,
. . . , x n . Gauss se propose d’estimer θ ` a partir des seules valeurs observ´ ees
x 1 , . . . , x n .
a) Une premi` ere estimation de θ est fournie par la m´ ethode des moindres
carr´ es ; elle consiste ` a prendre pour estimation de θ la valeur ˜
θ qui r´ ealise
le minimum de la fonction θ →
n
k=1 (x k − θ)
2 ; on a imm´ ediatement
˜
θ = (x 1 + · · · + x n )/n = x.
b) Gauss propose une autre m´ ethode, qui, dans le langage actuel, est
connue sous le nom de m´ ethode du maximum de vraisemblance. Il introduit
une fonction f (x) qui repr´ esente la (densit´ e de) probabilit´ e de l’erreur x
commise lors d’une observation ; il fait sur f les hypoth` eses (H) suivantes :
f > 0,
+∞
−∞
f (x) dx = 1 ;
f est paire (i.e. on commet aussi souvent une erreur positive qu’une
erreur n´ egative) ;
f (x) est d´ ecroissante lorsque |x| → +∞ (i.e. on commet moins souvent
de grandes erreurs que des petites).
Les erreurs aff´ erentes aux valeurs observ´ ees x 1 , . . . , x n de θ sont x 1 − θ,
. . . , x n − θ, de sorte que la (densit´ e de) probabilit´ e pour que ces erreurs
1 Gauss (C.F.). — Theoria motus corporum coelestium, Liber II, Section III, ; surtout
les paragraphes 175, 176 , 177, 178.