~ Résultat utile en pratique.
,.,
Rappel de notation :
\J_, X désigne l'adhérence de X dans E.
1.4 • Complétude
Preuve
Soient X une partie compacte de E et (x 11 )nE N une suite de Cauchy dans X. Puisque X est compacte, il
existe une extractrice a et un élément x de X tels que Xa (n ) ~ x .Montrons que (x 11 ) 11 EN converge
1100
vers x.
Soit t: > 0; il existe N 1 E N tel que: Vn E !':!,
ê
(n ~ N 1 => d(Xa (11 ),X) ~ 2) ,
et il existe N 2 E N tel que : V(p ,q) E !' :1
2 ,
({: ! z: => d(Xp , Xq) ~ ~) .
Il existe N E N tel que : N ~ N 1 et a (N) ~ N 2 .
On a:
Ceci montre Xp ~ x, et finalement X est complète.
p oo
Remarques:
•
1) La preuve précédente établit que, si (x,,)n EN est une suite de Cauchy ayant au moins une
valeur d'adhérence x, alors x 11 ~ x .
1100
2) La réciproque de la proposition précédente est fausse: une partie complète peut ne pas
être compacte; exemple : IR est complet (cf. Th. 2 ci-après) et non compact.
3) Dans le cas où E est complet, on a :
X compacte => X fermée => X complète.
CNS de Cauchy d'existence d'une limite pour une fonction
r rnf:t.1f:'l .. t:ill l à valeurs dans un evn complet
Soient XE l.lJ(E) , a E X ,F un JK-evn complet,/: X---+ F une application. Pour ~
que f admette une limite finie en a, il faut et il suffit que :
Ve> Ü, 3V E VE(a), V(x
1 ,x
11
) E X 2 , ( (x
1 ,x
11
) E V 2 ===} dF(/(x
1 ),f(x
11
)) ~ ê)
Preuve
1) Supposons que f admette une limite l en a, et soit ê > O. Il existe V E VE(a) tel que:
Vx E Xn V,
ê
dF(f(x) ,l) ~ 2·
On a alors:
V(x' ,x") E (X n V)
2 ,dF(/(x
1 ),f (x
11
)) ~ dF(f (x
1 ),l) + dF(l,f (x
11
)) ~ ~ + ~ = ê .
2) Réciproquement, supposons la condition de Cauchy satisfaite.
a) Puisque a E X, il existe au moins une suite (x 11 ) 11 EN dans X convergeant vers a.
La suite (f (x 11 ) )n EN est de Cauchy dans F.
En effet, soit ê > 0; il existe V E VE(a) tel que:
V(x',x") E (X n V)
2 ,
dF(f(x
1 ),f(x
11
)) ~ ê .
Puis, comme x 11 ~ a , il existe N E N tel que :
1100
Vn E N, (n ?: N => x,, E V).
On a alors:
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