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0
(V)
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0
N
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.......
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O'l
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>0..
0
u
Réponse:
x(t) =À e
21 + (µ + v)e
31 - (~t + ~)
y(t) =À e
21 + µ e3' - (~t + ~)
z (t) = À e
21 + v e
31 + ( ~ t + ~)
(À,µ ,v) E IR 3 .
h) Lrnatc;œ h
( -~ ~~ -1 8)
6
est diagonalisable
-9
dans M3(IR) et A= P DP- 1 , où
D = (-~ -~ ~) ' p = (-~
0
0 -3
L
~) ,
0 l
p - 1 = ( 2 =~ =~) .
- 1
1
4
Réponse:
[
x(t) = 2.l.. e- r + µ e - 2 t + 3v e- 31 + t - 1
y(t) = -2.l.. e1 + µ e- 2 t + 2t + 1
z(t) =À e- 1 + v e- 3 r + t + 2
(À ,µ , v) E IR 3 .
i) La matriœ A = G : -l) a pouc polynômooaractéristique
XA : À~ -(À - 2) 3 ,
donc SpJR (A) = Spc(A) = {2}. Le SEP associée à la valeur
propœ 2 est de d;meos;oo 1, eogeodcé P" v, = ( : ) .
Chercher a E IR et V2 E M 3, 1 (IR) pour que
A V2 = 2 V2 + a V1 .
On peut pœndce a = 2, V2 = G)
Chercher ensuite ({3, y) E IR 2 et V3 E M 3 1 (IR) pour que
AV3 = 2V3 + f3V1 + yV2 .
On peut pœndre P = 0, y= 2, V3 = G)
Ainsi A est trigonalisable dans M3(IR), A = PT p- 1 , où:
P=(~ ~ ~) ' T=(~ ~ ~) .
1 l 0
0 0 2
~)- l
En norantX = G} y= P1
X= (:)- 8(1) = ( n
on a:
X'= AX + B {:::::::}Y'= TY + p -l B
1
u' = 2u + 2v + -(- 1 + e
1 )
2
1
{:::::::}
v' = 2v + 2w + -(1 - e
1 )
2
l
w' = 2w + "2(1 +e 1 )
Résoudre (3) ; on obtient
1
1
w(t) = - - - - e' + v e 21 v E IR.
4
2
'
(1)
(2).
(3)
Reporter dans (2) et résoudre (2) (inconnue v) ; on obtient
3
v(t) = - e 1 + 2vt e 2 ' + µ e 21 , µ E IR .
2
Reporter dans (1) et résoudre ( 1) (inconnue u) ; on obtient
1 7
u(t) = - - - e1 + (2vt 2 + 2µt)e 21 + .l..e 2 ', À E IR.
4 2
Enfin, revenir à x ,y,z par X = PY.
Réponse:
x(t) = (2vt + (µ + v))e
2
' - ~ +e'
y(t) = ( 2vt
2 + 2µt +(À+ v) )e 2 ' - 4e'
z(t) = (2vt 2 + 2(µ + v)t +(À+ µ))e 21 + ~ - 2e'
j) On pourrait remarquer que la matrice A du système est
diagonalisable dans M3 (IR) car A est symétrique réelle
(cf. Algèbre et géométrie MP).
Les valeurs propres de A sont -2 et 2, doubles. Une base du
SEPa,,odéà - 2 e.t (V1, Vi),oO V ,= (~)- V,= ( ~) .
Une ba.e du SEP "'"ocié à 2 e 4
D'après 8.3.6 1) a) Théorème p. 463, X(t) = L CieÀ;t Vi ,
i=l
(C 1 , ... , C4) E IR 4 , ÀJ = .l..2 = -2, .l..3 = À.4 = 2.
Réponse:
x(t) = C 1 e- 21 + C3e21
y(t) = C2e- 21 + C4e21
z(t) = (- 2C1 + .J3C2)e- 21 + (2C3 + .J3C4)e 21 '
w(t) = (.J3C1 - 2C2)e- 21 + (.J3C3 + 2C4)e 2 '
(C 1 ,C2,C3,C4) E IR 4 .
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