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0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
62
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Exercices
1.3.1 Soient E un evn, A,B deux parties non vides de E;
on suppose A compacte et A n B = 0. Montrer :
1.3.4 Soient E,F deux evn, A une partie de E,f:
A ---+ F une application, telles que f (A) soit compacte.
Montrer que, si le graphe G f de f (défini par :
d(A,B) > O.
1.3.2 Soient E,F deux evn, A un compact de E, Bun
compact de F, W un ouvert de E x F tel que
GJ = {(x,f(x)); x E A}) est fermé dans A x F, alors f
est continue.
A x B c W. Démontrer qu'il existe un ouvert U de E et
un ouvert V de F tels que :
1.3.5 Soient E ,F deux evn, X une partie compacte
de E ,f : X ---+ F continue. On suppose qu 'il existe
et E IR'1- tel que: Vy E F , diam (f- 1 ({y}))
(Utiliser l'exercice 1.3.1).
(on convient: diam (0) = 0).
1.3.3 Soient E un IR -evn distinct de {0}, A une partie
compacte de E.
Montrer qu'il existe s > 0 tel que, pour toute boule ouverte B de rayon :::.;; s, on ait diam(f1 (B)) <
\lx E A , 3y E Fr(A) , [x; y] CA,
où [x; y]= {tx + (l - t)y; t E [O; l]}.
1.3.2
Le théorème 2 ci-après va contenir ce
résultat.
Le théorème 2 ci-après va contenir ce
résultat.
Exercices 1.3.6 à 1.3.9.
Cas de la dimension finie
les parties compactes de
sont les parties
L
fermées bornées.
--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~--)
Preu ve
1) On sait déjà (cf. 1.3. l Prop. 2 p. 59) que toute partie compacte est fermée bornée.
2) •Montrons d'abord que tout segment de IR est compact. Soit (a,b) E IR
2 tel que a :::.;; b, et soit (x,,),,
une suite dans [a ; b].
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass dans IR (Analyse MPSI, 3.3 Th.), la suite réelle bornée (x,,),,
admet au moins une suite extraite convergente. Il existe donc une extractrice Œ et un élément x de IR tels
que Xa(p) ~ x. Comme les Xa(p) sont dans le fermé [a; b], on déduit x E [a; b].
poo
Ceci montre que toute suite (x p) P dans [a; b] admet au moins une valeur d'adhérence dans [a; b], et donc
[a; b] est compact.
•Soit X une partie fermée bornée de IR". Puisque X est bornée, il existe des réels a 1 , ••• ,a,, ,b 1 , • • • ,b,,
Il
tels que X c n [ak ; bk ] . On vient de voir que les [ak; bk] sont des compacts de IR, donc (cf. l.3.1 Prop .
k=I
n
6 p. 60), n [ak; bk] est un compact de (IR" ,11 · lloo). Enfin, X étant fermé dans un compact, est luik=1
même compact.
En identifiant C" à IR
2
", on en déduit le Corollaire suivant.
Pour tout n de N*, les parties compactes de (
0
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Exercices
1.3.1 Soient E un evn, A,B deux parties non vides de E;
on suppose A compacte et A n B = 0. Montrer :
1.3.4 Soient E,F deux evn, A une partie de E,f:
A ---+ F une application, telles que f (A) soit compacte.
Montrer que, si le graphe G f de f (défini par :
d(A,B) > O.
1.3.2 Soient E,F deux evn, A un compact de E, Bun
compact de F, W un ouvert de E x F tel que
GJ = {(x,f(x)); x E A}) est fermé dans A x F, alors f
est continue.
A x B c W. Démontrer qu'il existe un ouvert U de E et
un ouvert V de F tels que :
1.3.5 Soient E ,F deux evn, X une partie compacte
de E ,f : X ---+ F continue. On suppose qu 'il existe
et E IR'1- tel que: Vy E F , diam (f- 1 ({y}))
(Utiliser l'exercice 1.3.1).
(on convient: diam (0) = 0).
1.3.3 Soient E un IR -evn distinct de {0}, A une partie
compacte de E.
Montrer qu'il existe s > 0 tel que, pour toute boule ouverte B de rayon :::.;; s, on ait diam(f1 (B)) <
\lx E A , 3y E Fr(A) , [x; y] CA,
où [x; y]= {tx + (l - t)y; t E [O; l]}.
1.3.2
Le théorème 2 ci-après va contenir ce
résultat.
Le théorème 2 ci-après va contenir ce
résultat.
Exercices 1.3.6 à 1.3.9.
Cas de la dimension finie
les parties compactes de
sont les parties
L
fermées bornées.
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Preu ve
1) On sait déjà (cf. 1.3. l Prop. 2 p. 59) que toute partie compacte est fermée bornée.
2) •Montrons d'abord que tout segment de IR est compact. Soit (a,b) E IR
2 tel que a :::.;; b, et soit (x,,),,
une suite dans [a ; b].
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass dans IR (Analyse MPSI, 3.3 Th.), la suite réelle bornée (x,,),,
admet au moins une suite extraite convergente. Il existe donc une extractrice Œ et un élément x de IR tels
que Xa(p) ~ x. Comme les Xa(p) sont dans le fermé [a; b], on déduit x E [a; b].
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Ceci montre que toute suite (x p) P dans [a; b] admet au moins une valeur d'adhérence dans [a; b], et donc
[a; b] est compact.
•Soit X une partie fermée bornée de IR". Puisque X est bornée, il existe des réels a 1 , ••• ,a,, ,b 1 , • • • ,b,,
Il
tels que X c n [ak ; bk ] . On vient de voir que les [ak; bk] sont des compacts de IR, donc (cf. l.3.1 Prop .
k=I
n
6 p. 60), n [ak; bk] est un compact de (IR" ,11 · lloo). Enfin, X étant fermé dans un compact, est luik=1
même compact.
En identifiant C" à IR
2
", on en déduit le Corollaire suivant.
Pour tout n de N*, les parties compactes de (