"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
y
0
Allure des
courbes intégrales
g) Il s'agit d'une ED de Riccati, normalisée.
l
• Une solution « évidente » est x ~ - .
X
X
On effec tue donc le changement de fonction inconnue
l
z = y - - , ce qui ramène à l'ED de Bernoulli
X
1
z' + - z + z 2 =O . En supposant que z ne s'annule pas, o n
X
l
effectue le changement de fonction inconnue u = - , ce qui
z
1
ramène à l'ED linéaire u' - - u - 1 = 0 , dont la solutio n
X
généraJe est x ~ x ln x + À.x (À E IR), d'où
l
1
y:x~ - + - - - -
x
x ln x +À.X
1
1
Pour À E IR, notons j,. : x ~ - +
, o ù
X
X ln x +À.X
Def(j,. ) =]0; e- À[U]e- À; +oo[.
• Soit (xo ,Yo) E IR+ x IR. Puisque l'application
(x,y) ~ ~ - y 2 - ~ e s t d e class e c 1 s ur l 'ouv e rt
X
X
IR+ x IR , d 'après le théorème de Ca uchy-Lipschitz
( 8.2 . 1 3) T h é orè m e p. 4 37 ) , le problè me d e Cau ch y
Cx 0
,y
0
y = ~ - y - x 2 admet une solution maximale
1
f
y
2
1
y(xo ) = Yo
unique.
Si XQYO = 1, il est clair que ]O; +oo[----+ IR est la solution
1
xt---> y
maximaJe de Cx 0 ,y 0 .
Supposons do nc XQYO =P l . L'équation j ,. (xo) = YO, d'inconnue À E IR, admet une solution unique,
1
ÀQ =
- ln xo. Situer xo par rapport à e- Ào. La resXQYO - 1
trictio n de j ,. 0 à celui des deu x intervalles ]O; e-Ào [,
]e- À O; + oo[ qui contient xo est la solutio n maximale de
Cx 0 ,y 0 , puisqu'elle est de limite infinie en 0 ou (et) e - Ào .
Réponse : les solutio ns maximales sont :
• ]O; +oo[-----+ IR
x~l X
y
courbes intégrales
]O; e - À[----+ IR , À E IR
x~l +
1
x x ln x+Àx
• ]e-\ +oo [----+ IR, À E IR.
x~ l +
1
:X x ln x+h
h) Même démarche qu'en g).
Réponse : les solutions maximales sont :
• IR -----+ IR
x~ l
• IR -----+ IR
x~ l +
1
'
1 +À (x+J I +x2)
• -oo· - - - -----+ IR
]
À.2 - 1 [
' 2À
,
x~ l +
1
l +À(x+J J+x 2 )
• - - - · +oo -----+ IR
]
À.2
1
[
2À ,
'
x~ l +
1
1 +À (x + J t +x2)
A llure des
courbes intégrales
À E IR+
À E IR~ .
i) Il s'agit d 'une ED à variables séparables. So it y une solution
sur un intervalle /. Comme ('rit E IR,t 2 + t + 1 > 0), on a:
y'
---..,...--- = - 1
y2+y+ 1
.
À l'aide d 'un calcul de primitives, on déduit qu'il existe À E IR
te l que :
Ylx E / ,
2
2y(x) + 1
-x = v'3 Arctan v'3 +À ,
1 741
0
c
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y
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Allure des
courbes intégrales
g) Il s'agit d'une ED de Riccati, normalisée.
l
• Une solution « évidente » est x ~ - .
X
X
On effec tue donc le changement de fonction inconnue
l
z = y - - , ce qui ramène à l'ED de Bernoulli
X
1
z' + - z + z 2 =O . En supposant que z ne s'annule pas, o n
X
l
effectue le changement de fonction inconnue u = - , ce qui
z
1
ramène à l'ED linéaire u' - - u - 1 = 0 , dont la solutio n
X
généraJe est x ~ x ln x + À.x (À E IR), d'où
l
1
y:x~ - + - - - -
x
x ln x +À.X
1
1
Pour À E IR, notons j,. : x ~ - +
, o ù
X
X ln x +À.X
Def(j,. ) =]0; e- À[U]e- À; +oo[.
• Soit (xo ,Yo) E IR+ x IR. Puisque l'application
(x,y) ~ ~ - y 2 - ~ e s t d e class e c 1 s ur l 'ouv e rt
X
X
IR+ x IR , d 'après le théorème de Ca uchy-Lipschitz
( 8.2 . 1 3) T h é orè m e p. 4 37 ) , le problè me d e Cau ch y
Cx 0
,y
0
y = ~ - y - x 2 admet une solution maximale
1
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y(xo ) = Yo
unique.
Si XQYO = 1, il est clair que ]O; +oo[----+ IR est la solution
1
xt---> y
maximaJe de Cx 0 ,y 0 .
Supposons do nc XQYO =P l . L'équation j ,. (xo) = YO, d'inconnue À E IR, admet une solution unique,
1
ÀQ =
- ln xo. Situer xo par rapport à e- Ào. La resXQYO - 1
trictio n de j ,. 0 à celui des deu x intervalles ]O; e-Ào [,
]e- À O; + oo[ qui contient xo est la solutio n maximale de
Cx 0 ,y 0 , puisqu'elle est de limite infinie en 0 ou (et) e - Ào .
Réponse : les solutio ns maximales sont :
• ]O; +oo[-----+ IR
x~l X
y
courbes intégrales
]O; e - À[----+ IR , À E IR
x~l +
1
x x ln x+Àx
• ]e-\ +oo [----+ IR, À E IR.
x~ l +
1
:X x ln x+h
h) Même démarche qu'en g).
Réponse : les solutions maximales sont :
• IR -----+ IR
x~ l
• IR -----+ IR
x~ l +
1
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1 +À (x+J I +x2)
• -oo· - - - -----+ IR
]
À.2 - 1 [
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,
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1
l +À(x+J J+x 2 )
• - - - · +oo -----+ IR
]
À.2
1
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2À ,
'
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1
1 +À (x + J t +x2)
A llure des
courbes intégrales
À E IR+
À E IR~ .
i) Il s'agit d 'une ED à variables séparables. So it y une solution
sur un intervalle /. Comme ('rit E IR,t 2 + t + 1 > 0), on a:
y'
---..,...--- = - 1
y2+y+ 1
.
À l'aide d 'un calcul de primitives, on déduit qu'il existe À E IR
te l que :
Ylx E / ,
2
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-x = v'3 Arctan v'3 +À ,
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