Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Exercice 1.3.5.
~ Propriété très utile en pratique.
-0
0
c
::J
0
(V)
C:
Exercices 1.3.1, 1.3.2.
N
@
..._,
D Cf.1.1.1, 3) b) p. 8.
o.
0
u
60
Comme Xrr(n) ~ x, la suite extraite (x.,.(r(n))) 11 converge aussi vers x, et donc (x.,.(r( 11 JJ>Yu(r( 11 JJ) 11
noo
converge vers (x, y) .
Ceci montre que toute suite dans X x Y admet au moins une valeur d'adhérence dans X x Y, et donc
X x Y est compacte.
Soient X E Sf,l (E), Fun JK-evn,f : X ---+ F une application.
{
X compact 1
On a:
.
===} f (X) compact.
f contmue
Preuve
Soit (yn)ne N une suite dans f (X).
Pour chaque n de N, il existe Xn E X tel que y,, = f (x,,).
Comme X est compacte, il existe une extractrice Œ et un élément x de X tels que Xrr(n) ~ x.
1100
Puisquef estcontinue, Yu(n ) = f(x.,.c11J) ~ f(x).
1100
Ainsi, la suite (y,, )n admet f (x) ( E f (X)) pour valeur d'adhérence, et finalement f (X) est compacte.
Remarque:
L'image réciproque d'une partie compacte par une application continue peut ne pas être
compacte ; exemple : f : lR --+ lR est continue, {0} est compact, f -
1 ({0}) = lR n'est pas
xr--+0
compact (IR n'est pas borné).
1) Soient X une partie non vide de E etf : X -----+ ~ une application. Si X est compacte
et f continue, alors f est bornée et atteint ses bornes.
2) Soient X une partie non vide de E, F un JK-evn et f : X -----+ F une application.
Si X est compacte et f continue, alors 11f11
X -----+ ~ est bornée et atteint ses
XI--+ 11! (x) l IF
bornes.
Preuve
1) f (X) est une partie compacte, donc fermée bornée de lR .
2) Appliquer 1) à llfl l, qui est continue sur le compact X.
•
N
Soient NE N*,E1,. .. ,EN des JK-evn ; on munit n Ek de la norme V définie par:
k= I
v(x1 , . .. ,XN) = Max llxkllEk
l ,;;;k .;;; N
Soit, pour chaque k de { 1,. .. , N}, X k une partie non vide de Ek.
N
Alors
n X k est compact si et seulement si, pour chaque k de { 1, . .. , N}, X k est
k=I
compact.