"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
......,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
ln2
n,./3
Réponse : - + - - .
3
9
+oo
1
2 +oo (
1
1 )
f) ?; (3n + 1)(6n + 5) = 3?; 6n + 2 - 6n + 5
2 +oo (-l)n
= 3?; 3n+2·
(-l)nx3n+2
Considérer la série entière '°'
et raisonnner
L 0
3n + 2
n;;,
comme dans la solution de e).
2ln2
2n,./3
Réponse : - - - + - -.
9
27
en
Je
'd'
1 , . . , L(-1)n 2n n
.
g
ons1 erer a sene entlere
2
x et raisonner
2"
n;;.O
comme dans la solution de e).
,
./2
Reponse: 2
.
1 - cosx
VxE lR*,f(x)=
2
X
+oo (-l)n+Ix2n- 2
+oo (-l)nx2n
= L (2n)! = L (2n+2)!'
n=I
n=O
le développement étant aussi valable en O. Ceci montre que f est
dSE(O), de rayon oo, et donc f est de classe C
00 sur lR .
Réponse : • L fn converge simplement sur ] ~; 1 [, ne
n;;.O
converge uniformément ni sur ] ~; ~] ni sur [ ~; 1 [ . mais
converge normalement sur tout [a; b] tel que
1
•V X E)-· l[
2' ,
1
2
< a ~ b < l.
+oo
1
2x
L:1,,cx) = -1 - + - 2 1·
-X
Xn=Ü
La série converge si et seulement si lx 1 < 1 , et, pour tout x de
)-1;1[:
+oo
+oo
L(3n + l)
2 xn = L9(n + 2)(n + l)x"
n= O
n= O
+oo
+ oo
-21 L(n + l)x" +4 L:x"
n= O
n=O
2
1
4
=9
-21
+ - -
(1-x)3
(1-x) 2 1-x
4x
2
+ 13x + 1
(1 - x) 3
1
-13 + .Jï53 I
Réponse:
8
.
a) Séparer en cas: lal < lbl, lal = lbl, la l > lbl.
1
Réponse : L 2
(an + b") converge si et seulement si :
n;;. 1 n
la i ~ 1 et lbl ~ 1.
b). {la i ~ 1
lbl ~ 1
[
lxl ~ 1
1
<==> x#l
<==>xE[-1;2].
lxl ~ ll-xl
• L'application +oo n
x~L:~
n= I n
sur ] - 1 ; 1 [ et :
+oo xn - l
l
V x E] - l; l[ - {0},
n= I n
X
Donc l'application S : [-1; l] -----+ lR
est de
X~ fi ~2 (x"+( l~X r)
1
1
classe C 1 sur]-1; 2[ et: Vx E)-1 ; 2(- {0},
S (x) =
/
/
1
/ (
X
)
(l - x)2
1-x
1
1
= - - ln(l -x) +
ln(l -x)
x
x(l -x)
ln (1 - x)
1-x
Puisque S' est continue en 0, on déduit :
Puis:
1
V XE) - l · -[
'2'
1
V XE) - l· - [
'2'
S'(x) = ln(l -x).
1-x
rx
1
2
S(x) = S(O) + Jo S'(t)dt = - 2
(1n(l -x)) .
Par convergence normale (donc uniforme) de la série d'applications continues L ( x ~ n
1
2 ( x
11 + ( 1 ~xx)
11 )) sur
n;;. l
1
[ - 1; 2 ], on conclut :
\lx E [-1; ~]. S(x) = -~(ln(l-x))2.
Réponse:
1
V XE [-1 · - ]
' 2, S(x) = -~(ln(l -x)f.
a"(l + b")
Réponse: L
(pour (a,b) E (lR~) 2 ) converge
n;;. 1
n
si et seulement si :
0 < a < 1 et 0 < ab < 1.
Dans ce cas, sa somme est :
-ln (1 - a) - In (1 - ab).
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2 +oo (-l)n
= 3?; 3n+2·
(-l)nx3n+2
Considérer la série entière '°'
et raisonnner
L 0
3n + 2
n;;,
comme dans la solution de e).
2ln2
2n,./3
Réponse : - - - + - -.
9
27
en
Je
'd'
1 , . . , L(-1)n 2n n
.
g
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2
x et raisonner
2"
n;;.O
comme dans la solution de e).
,
./2
Reponse: 2
.
1 - cosx
VxE lR*,f(x)=
2
X
+oo (-l)n+Ix2n- 2
+oo (-l)nx2n
= L (2n)! = L (2n+2)!'
n=I
n=O
le développement étant aussi valable en O. Ceci montre que f est
dSE(O), de rayon oo, et donc f est de classe C
00 sur lR .
Réponse : • L fn converge simplement sur ] ~; 1 [, ne
n;;.O
converge uniformément ni sur ] ~; ~] ni sur [ ~; 1 [ . mais
converge normalement sur tout [a; b] tel que
1
•V X E)-· l[
2' ,
1
2
< a ~ b < l.
+oo
1
2x
L:1,,cx) = -1 - + - 2 1·
-X
Xn=Ü
La série converge si et seulement si lx 1 < 1 , et, pour tout x de
)-1;1[:
+oo
+oo
L(3n + l)
2 xn = L9(n + 2)(n + l)x"
n= O
n= O
+oo
+ oo
-21 L(n + l)x" +4 L:x"
n= O
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2
1
4
=9
-21
+ - -
(1-x)3
(1-x) 2 1-x
4x
2
+ 13x + 1
(1 - x) 3
1
-13 + .Jï53 I
Réponse:
8
.
a) Séparer en cas: lal < lbl, lal = lbl, la l > lbl.
1
Réponse : L 2
(an + b") converge si et seulement si :
n;;. 1 n
la i ~ 1 et lbl ~ 1.
b). {la i ~ 1
lbl ~ 1
[
lxl ~ 1
1
<==> x#l
<==>xE[-1;2].
lxl ~ ll-xl
• L'application +oo n
x~L:~
n= I n
sur ] - 1 ; 1 [ et :
+oo xn - l
l
V x E] - l; l[ - {0},
n= I n
X
Donc l'application S : [-1; l] -----+ lR
est de
X~ fi ~2 (x"+( l~X r)
1
1
classe C 1 sur]-1; 2[ et: Vx E)-1 ; 2(- {0},
S (x) =
/
/
1
/ (
X
)
(l - x)2
1-x
1
1
= - - ln(l -x) +
ln(l -x)
x
x(l -x)
ln (1 - x)
1-x
Puisque S' est continue en 0, on déduit :
Puis:
1
V XE) - l · -[
'2'
1
V XE) - l· - [
'2'
S'(x) = ln(l -x).
1-x
rx
1
2
S(x) = S(O) + Jo S'(t)dt = - 2
(1n(l -x)) .
Par convergence normale (donc uniforme) de la série d'applications continues L ( x ~ n
1
2 ( x
11 + ( 1 ~xx)
11 )) sur
n;;. l
1
[ - 1; 2 ], on conclut :
\lx E [-1; ~]. S(x) = -~(ln(l-x))2.
Réponse:
1
V XE [-1 · - ]
' 2, S(x) = -~(ln(l -x)f.
a"(l + b")
Réponse: L
(pour (a,b) E (lR~) 2 ) converge
n;;. 1
n
si et seulement si :
0 < a < 1 et 0 < ab < 1.
Dans ce cas, sa somme est :
-ln (1 - a) - In (1 - ab).