"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
b) a) Soit x E [l; +oo[. En notant

la condition étudiée revient à :

L'application

Vt E [0; +oo[,
/
t
tJx
(Jx - l)t
2

? O.
1 + t
.fi+ t (1 + t)(Jx + t)
Ainsi,

d'où l'encadrement voulu.
{3) Soit x E [O; +oo[. En notant V; : ] - l; O]-----+ IR
l'application définie par :
u2
'lj;(u) = -ln(l + u) + u - 2 ,
la condition étudiée revient à: 'ljJ? O.
L'application 'ljJ est de classe C 1 sur ] - 1; O], et :
'Vu E] - l; 0],
u2
'l/J' (u)=-l+u :::; o.
Ainsi, V; est décroissante; comme 'lf;(O) = 0, on déduit 'ljJ ? 0,
d'où l'encadrement voulu.
c) Soit (xn)n ;;,O une suite à termes ? 0 et de limite +oo.
Notons, pour n E N, fn : IR -----+ IR .
N--+ f (X 11 ,t)
• Pour tout n de N, fn est continue par morceaux sur IR .
• Pour tout t de IR, il existe N E N tel que - .JXN : : : ; ; t, et on a
alors, pour tout n de N tel que n ? N :
fn(t) =exp (xnln ( 1 + ~n )- tJx'n)
=exp( -
1
: + o(l)).
ce qui montre que (fn)n ;;,O converge simplement sur IR vers
, 2
f: t r----+ e-- 2 .
• f est continue par morceaux sur IR .
• En notant A : IR -----+ IR l'application définie par
A(t) = 1 e --~
(1 + t)e""'
1
" si t :::;; 0 I · on a, d'après b) a) et {3) :
si t > 0
De plus, A est continue par morceaux, ? 0, intégrable sur IR.
D'après le théorème de convergence dominée,
r fn ------7 r f, c'est-à-dire :
l~
noo l~
1 + - - e-t,JX,. dt
l
+oo (
f
)X " .
-,JX,.
Jxn
------7
noo
Ce dernier résultat, valable pour toute suite (xn )n ;;,O à termes
? 0 et de limite +oo, permet de déduire :
1 + ~ e-1
.JXdt ~ ,/2ii,
l
+ oo (
f )X
-.ji
·y X
X_,. +oo
et finaJement: rcx + 1) ~ (::)X~,
x....,. +oo e
a) Cf. exercice 5.1.31 b) 3) p. 306.
b) Soient x E]O; +oo[, n E N*. On a:
r (1- ~)n tx-ldt = nx {
1
(1-u)nux-I du.
k
n
u=k k
À l'aide d'intégrations par parties successives :
fol (1 - u)nux - ldu
[
ux] 1 loi
ux
= (1 - u)n -
+
n(l - u)n-I - du
X
0
0
X
=~ {
1
(1-u)n - luxdu= . . .
X lo
n n - 1
1
r 1 x+n -- 1
= ~ x + 1 · · · x + n - 1 lo u
du
n!
x(x + 1) ... (x + n)
nx x!
On conclut, d'après a):
------r r(x).
x(x + 1) ... (x + n) 1100
On a, pour x E]O; +oo[ et n E N* :
n 1
n
(
)
= ln X + y X - X { ; k + {; ln 1 + ~
(L
n 1
)
(x(x + 1) ... (x + n))
=-x
- -Inn-y +ln
.
k
X
f
k= I
n n.
D'après l'étude de la constante d'Euler y :
n 1
L: - -lnn-y------rO.
k=I k
noo
Et, d'après la formu le de Gauss pour r (exercice 5.1.35) :
nxn!
- - - - - - ------r r(x) ( > 0).
x(x + 1) ... (x + n) n oo
Comme exp est continue en 0, on conclut :
xeyx TI (1 + ::)e-f ------r - 1 -.
k= I
k
1100
r(x)
a) On a vu la formule de Weierstrass (exercice 5.1.36):
xeY' fl 1 + - e k ------7 - - ,
11
(
X) - ~
l
k= I
k
1100
r(x)