Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Exercice 1.2.7.
~ Attention :En général,Lipk (X, F ) n'est
' -
pas un espace vectoriel.
"O
0
c
::J
D
N
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..._,
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Ol
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>- 0.
0
u
50
Cf.1.1.13) b) p.8.
On note, pour tout k de IR+, Lipk (X , F) l'ensemble des applications k-lipschitziennes de X
dans F ; on note Lip(X, F ) l'ensemble des applications lipschitziennes de X dans F :
Lip(X, F) = LJ Lipk(X, F).
k EIR+
{
f E Lipk(X, F) 1
l)
.
==::::} f + g E LiPk+k' (X,F)
g E L1pk1(X, F)
2)
3)
{
À E JK.
1 ==::::} J...f E LiplÀlk(X, F)
f E L1pk(X,F)
{
f E Lipk(X,F)
g E Lipk'(Y,G) ==::::}g o f E Lipkk' (X,G).
f(X) C Y
P reuve
Pour tout (X1 ,x2) de X 2 ' on a :
1) ll (f + g)(x1) - (f + g)(x2) ll F :::;; llf(x1) - f(x2) ll F + ll g(x1) - g(x2) ll F
:::;; (k + k') llx1 -x2ll E
2) ll (Àf)(x1) - (Àf)(x2) llF = l>\.l llf(x1) - f(x2) ll F :::;; IÀlk llx1 - x2ll e
3) ll (g o f)(x1) - (g o f)(x2) ll c :::;; k'll f(x 1) - f(x2) ll F :::;; k'k llx1 - x2 llE ·
Remarques:
1) Si X # 0 , d'après les propriétés 1) et 2) ci-dessus, Lip(X, F) est un IK-ev.
2) Si f ,g : X --? IK sont lipschitziennes,f g peut ne pas l'être; exemple:
X = lK = TR.,f,g : TR. - 7 TR. .
X f----+ X
l) L'application Il· Il : E-----+ lR. est l-lipschitzienne.
xr----+ l lx 11
2) Pour tout partie non vide A de E, l'application E -----+ lR. est !-lipschitzienne.
xr----+d (x , A)
n
•
3) Soient n E N*, (Ek , Nk)t ~k~n des JK-evn, v la norme définie sur E = n Ek par:
k=I
Pour tout k de {l , ... ,n} , prk: E-----+ Ek est 1-Iipschitzienne.
(xi , ... ,xn)r----+xk
Preuve
1) On a: 'v'(x ,y) E E 2 , l llx ll - llYl l I : : : ; ; llx - Yll.
2) Soit (x ,y) E E 2 . On a: Va E A , d(x ,a) :::;; d(x ,y) + d(y ,a) , d'où, en passant aux bornes inférieures lorsque a décrit A :
d(x , A) :::;; d(x,y) + d(y, A) ,
et donc: d(x , A) - d(y,A) ,,:;; d(x ,y) .