-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
Il en résulte que C1admet une branche parabolique de direction asymptotique y' y.
• Étude en +oo :
Pour tout x de ]O; +oo[ :
!o
+oo . 2
l !o+oo 2
0 ~ f(x) ~
e - .xr dt = ~
e-u du ,
Q
11=../Xt yX Q
et donc: f (x) ------+ O.
. x->+oo
y =f(x)
0
X
Arctan(xt)
a) Soit x E IR. L'application t ~
2
est continue sur
t(I + t )
Arctan(xt)
]O; +oo[, de signe fixe au voisinage de 0,
2
----? x,
t(l + f ) H Ü
. .
1 Arctan (xt) 1
TC
et, au vmsmage de +oo ,
2
~ 3 ,
t(l + t )
2t
Arctan(xt)
donc t ~
2
est intégrable sur ]0; +oo[.
t(l + t )
b) Notons F : IR x]O; +oo[--+ IR .
(x,t ) r--+ Arctan(xl)
1(1+1 2 )
• Pour tout x E IR, F (x,.) est intégrable sur ]O ; +oo[.
aF
1
• -
· (x t) ~
est définie sur
ax. '
(l+x2t 2)(l+t2)
IR x]O; +oo[, continue par rapport àx, continue par morceaux
(car continue) par rapport à t.
aF
• - vérifie HD sur IR x]O; +oo[, car, en notant
ax
îf; : ]O; + oo[--+ IR, îf; est continue, ;::: 0 , intégrable sur
11--+- I_
1+ 1 2
]O; +oo[, et :
'v'(x,t) E IRx ]O; +oo[, 1 ~~ (x ,t) I ~ î/J (t).
D'après une extension du théorème de dérivation sous le signe
f , on en déduit :
aF
. ,
• Pour tout x de IR , - (x, ·) est mtegrable sur ]O; + oo[.
âx
• f est de classe C
1 sur IR et :
!o
+oo
dt
'v'x E IR, f'(x) =
.
0
(1 + x2t2)(1+12)
Pour tout x de [0; 1 [U]l ; +oo[, on obtient, à l'aide d'une décomposition en éléments simples :
1
!o+oo ( 1
x2
)
f'(x) = - -
- - -
dt
1 - x 2 O
1 + t 2 1 + x2t2
1 [
]+oo
= - - 2
Arctan t - x Arctan(xt)
1-x
O
1
(TC TCX)
TC
= l -x2 2 - 2 = 2(1 +x)°
Comme f est de classe C 1 sur IR, par continuité de f' en 1,
TC
on a: 'v'x E [O; +oo[,.f' (x) = - - -
2(1 + x)
Réponse: 'v'x E [O; +oo[ ,f'(x) =
TC
2(1 + x)
c) •Puisque f (0) = 0 , on déduit du résultat précédent :
TC
'v'x E [O; +oo[, f(x) = - ln(I + x).
.
2
• Comme f est impaire, on a :
TC
'v'x E] - oo; 0], f(x) = -f(-x) = - 2
ln(l -x).
Réponse: f (x) =
2
TC
1
!:..1n(l + x)
six ;::: 0
- 2
ln(l -x) six ~ O.
(
Arctan t )
2
d) Remarquer d'abord que t ~
t
est intégrable
sur ]O; +oo[.
Pour tout (e,X) tel que 0 < e < X, on obtient, par une intégration par parties :
lx ( Arc;an t r dt
(Arctan X) 2
(Arctan e) 2
lx Arctan t
= -
+
+2
dt ,
X
ë
c t(1+t2)
d'où, en faisant tendre e vers 0 et X vers +oo :
!o
+oo (Arctant)
2
!o+oo Arctant
dt= 2
dt
0
t
0
t(l + t2)
= 2.f (1) =TC Jn 2.
Notons F : IR x [O; +oo[--+ IR
( 1
)
ln(I +x
2 1
2 )
X , 1--+
1+12
• Fest continue par rapport à x et continue par morceaux (car
continue) par rapport à t.
• F vérifie HD locale sur IR x [O; +oo[ car, pour tout a de
[O; +oo [, en notant 1
ln ( l+a 2 1 2 )
1--+
1+ 1 2
intégrable sur [O; +oo[ , et :
'v'(x ,t) E [-a; a] x [O; +oo[, IF(x,t)I ~ 1 605