"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
• llfl l~ =lb lf(t) l
2 dt ::;; (b - a) 11!11~b) • Pour simplifier, commençons par le cas a = 0, b = 1 .
Considérons, pour tout n de N : fn: [O; l] -----"* JR , qui est bien
t ~ tn
dans E. On a:
Vn E N,
( 11Jn ll 1 = n ! l ' ll J,,1 12 = ~· ll fn lloo = i) ,
donc
ll fn lloo
- - - -----+ + OO'
llfn 11 i noo
llf,, lloo
.
- - -----+ + oo,ce qu1 montre que li- Il i, 11 -112. 11 -lloo sont
11 J,, l ' 2 noo
deux à deux non équivalentes.
•Dans le cas général, considérer f,, (t) = (t - a)".
a) Les vérifications sont immédiates.
b) On a, pour tout P = L:>kxk E JR[X] :
k
1
Ni( P) = L lak l ::::; L (1 + - 1
-)lakl = N( P )
k
k
k + 1
N(P) = L (i + -
1
-. ) 1ak l::::; L 21ak l = 2Ni(P).
k
k + 1
k
Ainsi:
V P E JR[X], Ni(P) ::::; N(P) ::::; 2Ni(P),
et on conclut : N i et N sont équivalentes
a) Les conditions N

.. IN

et N

Notons Z

0
Supposons Z

l p. 26), et soit f E E telle que Nrp (f) =O. Commef et

continues, on déduit f

Vx E C[o: i1(Z 19 ) , f(x) =O.
Ainsi, f est continue sur [0; 1] et s'annule sur la partie C[o; il ( Z

qui est dense dans [O; l]. Il s'ensuit!= 0, et donc Nrp est une
norme.
0
• Supposons z

2 tel que:
{
o ::;; a < b ::;; l
Vx E [a; b], rp(x) =O.
Considérer f : [O; l] -----"* lR définie par :
f(x) = 1 x -a
b-x
0
a+b
si a ::;; x ::;; - -
2
a +b
si - - ::;; x ::;; b
2
sinon.
Mo ntrer: f E E , Nrp (f) = 0, f #O.
Ainsi, Nrp n'est pas une norme .
Réponse : Nrp est une no rme sur E s i e t seul eme nt s i
0
0
b) Il est clair qu'on suppose déjà z

•Supposons Z rp = 0 . Puisque lcp l est continue sur le segment
[0; l] et ne s'annule pas, il existe (m,M) E (JR~)
2 tel que :
Vx E [O; l],
m ::;; lrp(x) I::;; M.
A lors
Vf E E ,
mNi (f) ::;; N

• Supposons Zrp :f. 0 ; il ex iste donc x 0 E [0; l] tel que
0 fixé.
Puisque

Vx E [x 0 - ry; x 0 + TJ ] n [O; l],
1
lcp(x) I ::;; - .
2a
Considérons f : [O; 1] -----"* lR définie par :
1
~ (x - xo + TJ)
f (x) = 1
·
- (xo + TJ - x)
T/
0
si xo - TJ ::;; x ::;; xo
si x 0 ::;; x ::;; xo + TJ
sinon .
l
On a: Ni (f) = TJ et Nrp (f) ::;; 2
a 2ry,
d' '
N i (f) >- C .
N
N
ou Nrp (f) 7 a. ec1 montre: rp "" i.
Réponse : Nrp est une norme équivalente à Ni si et seulement
si c) Méthode analogue à celle utilisée pour b ).
Réponse: Nrp et N î/J sont des normes équivale ntes si et seule0
ment si : Z

•Les propriétés N(>..f) = l>.. IN(f) ,
N(f + g) ::;; N(f) + N(g) , Nrp (Àf) = l>.. INrp (f) ,
Nrp (f + g) ::;; Nrp(f) + Nrp (g) sont immédiates.
• Soit f E E telle que N(f) = 0 ; alors f (0) = 0 et f' = 0
do nc f est constante, et finalement f = O.
• Soit! E E telle que Nrp (f) = 0 ; alors 1 i f

do nc f est constante. On a ainsi f · 1i

puisque 1i

•L'application X ~ lx pour toute f de E :
1i fcp = L f 1 557