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u
9.5.3
En particulier, toute partie convexe est
étoilée par rapport à chacun de ses
points.
Exemple d'une partie X de ~
2 étoilée.
9.5 • Formes différentielles
Preuve
Supposons U connexe par arcs, w exacte, et soient Fi , F2 : U ----+ IR deux primitives de w sur U.
Alors Fi - F2 est de classe C 1 sur U et :
V j E {l, ... ,p},
D'après 9.1.5 Corollaire 3 p. 51 l, il en résulte que F1 - F2 est constante.
•
Formes différentielles fermées
------..
Soient V un ouvert de IR.P, w une forme différentielle sur V, A 1 , ••• ,Ap les coefficients de w. On dit que w est fermée sur V si et seulement si :
V(i ,j) E {l, ... ,p}
2 ,
Soient V un ouvert de JRP, w une forme différentielle sur V.
Si w est exacte sur V, alors w est fermée sur V.
Preuve
En notant A 1 , ... , A P les coefficients de w, il existe F : U ----+ IR de classe C 1 telle que
V j E {l, ... , p},
oF
-
-Aax· - j·
J
Comme A 1 , . .. , A P sont de classe C 1 sur U, F est de classe C 2 sur U et donc, d'après le théorème de
Schwarz (9.2.3 Th. p. 523) :
Soit X E \.l}(JRP)
1) Soit A E X ; on dit que X est étoilée par rapport à A si et seulement si :
V ME X, [AM] c X ,
où [AM] désigne le segment joignant A et M ,
c'est-à-dire [AM]= {P E JRP; ::n E [0; 1), AP =À.AM} .
2) On dit que X est étoilée si et seulement s'il existe A E X tel que X soit étoilée par
rapport à A.
Théorème de Poincaré
Soient V un ouvert de JRP et w une forme différentielle sur V. Si V est étoilé et si w
est fermée sur V, alors w est exacte sur V.
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