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Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Ce résultat se traduit géométriquement :
sous les hypothèses indiquées, la courbe
d'équation f(x,y) = 0 admet une
représentation paramétrique de classe
C 1 ,y = Ce résultat se traduit géométriquement :
sous les hypothèses indiquées, la surface
d'équation! (x,y, z) = 0 admet une
représentation paramétrique de classe
C
1 , z = (a,b).
De plus, il existe un voisinage v' de a dans ffi.P, inclus dans v, tel que, pour tout
x = (x 1 , ••• ,xp) de v':
(
af,
- - ( x ,cp(x))
axp+t
afn
-a - ( x ,cp(x))
Xp+t
Remarques:
af,
- - ( x ,cp(x))
axp+n
afn
-a - (x,cp(x))
Xp+n
- 1
af,
af,
-(x,cp(x) )
-a -(x,cp(x))
ax,
Xp
aJ,,
aJ,1
-(x,cp(x))
- (x,cp(x))
ax,
axp
1) Si p = n = 1, le théorème des fonctions implicites prend la forme suivante.
Soient U un ouvert de IR 2 , A = (a,b) E U, f : U ---+ IR une application.
On suppose:
I
• f(A) = 0
• f de classe C
1 sur u
af
• -(A)-:/= O.
ay
Alors il existe un voisinage ouvert v de a dans IR et un voisinage ouvert w de b dans IR tels
que:
l
•vXw CU
•il existe une application unique cp: v --+ w telle que: V x E v, f (x,cp(x)) = 0
• cp est de classe C
1 sur v.
De plus, il existe un voisinage v' de a dans IR, inclus dans v, tel que, pour tout x de v' :
af
a(x,cp(x))
cp'(x) = - a!
.
- (x ,cp(x))
ay
2) Si p = 2 et n = l, le théorème des fonctions implicites prend la forme suivante.
Soient U un ouvert de IR 3 , A = (a ,b,c) E U, f : U ---+ IR une application.
I
• f(A) = 0
0
• f de classe C
1 sur u
n suppose:
• af (A)-:/= O.
az
Alors il existe un voisinage ouvert v de (a,b) dans IR
2 et un voisinage ouvert w de c dans IR
tels que:
l
•vxw cU
•il existe une application unique cp: v--+ w telle que: V (x ,y) E v, f(x,y,cp(x,y)) = 0
• cp est de classe C
1 sur v.
De plus, il existe un voisinage v' de (a,b) dans IR 2 , inclus dans v , tel que, pour tout (x ,y) de v':
af
acp
~(x,y ,cp (x,y))
ax (x ,y) = - af
ih(x,y,cp (x ,y))
et
af
acp
a_y(x,y,cp(x,y))
ay(x,y)=-af
·
ih (x,y,cp(x ,y))