Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
\"') Deuxième calcul des dérivées partielles
\1J premières d'une fonction composée.
n 0
(V)
......
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N
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0
u
530
Calcul des dérivées partielles premières
d'une fonction composée.
a
2 f
a (aF
aF) ax
a (aF
aF) ar
ax 2 = ax ax + ar "7h + ay ax + ar ax
a 2 F
a
2 F
a 2 F
= a x 2 +
2 axa Y + a Y 2 '
et de même :
a 2 f
a 2 F
a
2 F
a 2 F
àt2 = c2 ax2 - 2c2 àXàY + c2 ay2.
Ainsif est solution sur ffi.
2 de l'EDP2 proposée si est seulement si F est solution sur ffi.
2 de :
à
2 F
- - = 0.
axar
à
2 F
On a vu (1) b) p. 529) que la solution générale de - - - = 0 sur ffi.
2 est
axar
F: (X ,Y) i-------+ A(X) + B(Y) , où A ,B: ffi.---+ ffi. sont de classe C
2 .
Finalement, la solution générale de l'EDP2 proposée est f : IR 2 -----+ IR
,
(x ,1).-.-A (x+ct)+B(x- ct)
où A , B : ffi. ----+ ffi. sont de classe C 2 .
2) Trouver toutes les applications f : u = iR~ X R -----+ R de classe ci telles que
air
a
2 f
il
2
r
xi_ . +2xr-- + vi_ . =O.
axi
. axay . ay 2
en utilisant le changement de variables u = x. v = ~.
X
L'application

est clairement bijective et de réciproque
(x,y).-.-(x , :f)
(u,v).-.- (u,uv)
Comme de plus 2 sur U, 2
-difféomorphisme de U
sur U. Notons, pourf: U ----+ ffi., F = f o V (x,y) E U, f(x,y) = F(x, ~).
De plus, Fest de classe C 2 sur U si et seulement sif est de classe C 2 sur U.
On a, avec des notations abusives classiques :
{
:~ = ~: :: + ~: :: = ~: - :2 ~:
of
àF ou
àF àv
1 àF
- = - - + - - = - -
ày
OU oy OV oy X OV
Pour calculer les dérivées partielles d'ordre 2, on pourra, suivant l'exemple, laisser x,y dans
1 , .
d
af af
. .
·b1
.
"
. d
es ecntures onnant - , - , ou, s1 c est poss1 e, exprimer x, y en 1onct1on e u , v.
ax ày
Dans l'exemple ici traité, les deux options sont réalisables.
On obtient en utilisant le théorème de Schwarz :
X OUOV
1 à
2 F
ày2
x2 av2 ·
x 2 av
x 3 àv 2