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9.2 • Dérivées partielles successives
9.2.9 Soit l : IR 2 ~ IR définie par:
f(x,y) ~ l
1
e - x2y2
si xy # 0
9 .2.10 Etudier les convergences des séries d'applications
+oo
L ln suivantes, et préciser la classe de la sonune L ln :
n ~ l
n=l
0
si xy = 0
a) Montrer que l admet des dérivées partielles successives, à tous ordres et par rapport à toutes places, en (0,0).
1 + nx
b) 111 : IR
2 ~ IR, (x,y) r--+ l + nY.
b) Montrer quel n'est pas continue en (0, 0).
9.2.4
Cette définition généralise celle de 9.1.6
p.546.
Ce théorème est surtout utile dans le cas
ou 4>- I est difficilement exprimable.ou
non exprimable.
ck-difféomorphismes
------..,
Soient k E N* U { +oo}, V (resp. V) un ouvert de IR(P (resp. JR(n), que Remarque:
{

Les remarques de 9.1.6 p. 512 sont ici valables en remplaçant partout C 1 par ck.
Soient U (resp. V) un ouvert de IR.n, {
Si
Pour tout a de V, a

alors Preuve
D'après 9.1.6 Théorème p. 513, est déjà un C 1 -difféomorphisme de U sur V. Puisque
def>(a)- l = (da)- 1 , les fonctions composantes des dpp de - 1 s'expriment comme quotients de
sommes de produits et composées de et des dpp des fonctions composantes de . Comme est de classe ck, il en résulte (cf. 9.2.2 p. 522) que les fonctions composantes des dpp de - 1 sont de classe ck- 1 ,
et donc 1 est de classe ck.
Q Exercices9.2.11 , 9.2.12.
@
527