9.1 ·Dérivées partielles premières
--9.1.5
On considère ici l'espace vectoriel euclidien
9.1. 7 Montrer que f : Mn (IR) -----+ IR est différentiable sur
Ar->detA
usuel IR 3 .
Soient lt E IR 3 , F : IR 3 - {lt} -----+ IR3 .
7r-> 7-ct
117-711 2
Mn (IR) et calculer sa différentielle en tout point.
9.1.8 Soit f : IR 2 -----+ IR définie par :
Montrer qu'il existe f : IR
3 - {7} -----+ IR de classe C
1
1
y3
f(x,y) =
Jx2; y4
si (x,y) =!= (0,0)
-----+
.
telle que F = gradf, et expnmer f.
si (x,y) = (0,0)
9.1.6 Soient n,k E N* .fk : Mn (IR) -----+ Mn (IR).
a) Montrer que f est continue en (0,0).
b) Etablir que, pour tout v de IR 2 - { (0, 0)), f admet une
dérivée première en (0,0) suivant v.
Xr->Xk
Montrer que fk est différentiable sur Mn (IR) et calculer sa
différentielle en tout point.
c) Montrer que f n'e st pas différentiable en (0,0).
9.1.5
1
"} \ Rappel :
\J..J llb - alloo = Max lbj - ajl,
l ~j ~p
a= (a1 , . .. ,ap),
b = (b1 , ... bp).
Autrement dit, puisque [a ,b] C U et
que U est un ouvert, on peut prolonger
[a,bl un peu au-delà dea et de b,en
restant dans V.
Inégalité des accroissements finis
Rappelons que, pour (x,y) E E
2 , le segment d'extrémités x et y, noté [x; y ], est la partie de E définie par: [x; y]= {ÀX + (1 - À)y; À E [O; l]}.
Inégalité des accroissements finis
Soient V un ouvert de ~P, (a, b) E U
2 tel que [a; b] C U,f : V ----* ~ de classe C
1
sur V, M E ~+ tel que :
Vx E [a; b],
P 1 af
1
L - _(x) :::; M .
)=1 ax}
On a alors: lf(b) - f(a)I :::;; Ml lb - al loo·
Preuve
Puisque [a ; b] C U et que U est un ouvert de IRP,
il existe a E]O; +oo[ tel que :
Vt E]-a; 1 +a[, a +t(b-a) EU.
L'application

Ir-> f (a+t(b-a))
(cf. Th. p. 500). D'après le théorème des accroissements finis (Analyse MPSI, 5.2.2) ou l'inégalité des
accroissements finis pour une fonction d'une variable réelle (2.3.7 Th. p. 139), on a :
lf(b ) - f(a)I = l IE(Ü; J)
509