-a
0
c
::J
0
(V)
H
0
N
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......
..c
Ol
"i:
>a.
0
u
494
Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Exemple de recherche de limite pour une fonction de deux variables réelles
xayb - l
Po ur (a,b) E (JR~)2 fixé, é tudie r
lim
(x.y) -
(1. 1) xy - 1
Solution
x"yb - l
L'ensemble de définition de la fonction f : (x ,y) ~ - - -
xy - 1
(a,b) E (IR~)
2 fix é quelconque: 1 (x,y) E (IR:)
2 ; xy - 1 =f. 0}.
Notons h = x - l -----+ 0, k = y - l -----+ O. On a alors :
x--+I
y--+ I
est, pour
xayb - 1
(l +h)a( l +k)b -1
ealn (l+/J)+bln (l+k) -1
j(x,y)= xy- l = (l+h)(l+k)-1 =
h+k+hk
En particulier, e n remplaçant k par -h :
e aln(l+h)+bln(l-11) - l
f( l +h, l-h )=
2
.
-h
Comme:
a ln (1 + h) + b ln (1 - h) = (a - b)h + o (h),
11-+0
on peut utiliser des développements limités usuels :
l
f ( l + h, l - h) = - h 2 (a ln (l + h) + b ln ( l - h) + o(h))
=--((a-b)h+o(h))=--+ o - .
1
b -a
( ' )
~
h
h
• S i b =/:-a, alors IJC l + h , l - h)I -----+ +oo, donc f n'a pas de limite (fi nie) en
h-+0
(1, 1 ).
•Sib =a, ona :
x" y
0 -
1
f(x,y) = - - -
xy - 1
(xy)" - 1
xy - 1
e"ln(xy) - l
Finalement :
a ln (xy)
-----+ a.
(x.y)-+(1.1 ) xy - 1 (x.y)-+( 1, 1)
si a =f. b, alors la linùte envisagée n'existe pas ;
xy- 1
s i a= b , a lors la limite e nvisagée exis te et est égale à a.
Conseils
Changement de variable pour se ramener
au voisinage de (0,0).
On examine un cas particulier se ramenant
à une variable, afin de pouvoir utiliser des
développements limités ou des équivalents.
Le choix k = -h permet d'éliminer le
terme h + k du dénominateur.
Rappel :
Rappel:
ln ( I + 11) = 11 + o (11).
u-+O
eu = 1 + 11 + o (u).
11~ 0
Par exemple, si b > a :
f ( 1 + h, 1 - h) -+ +oo.
11----0+
Pour étud ier le cas particulier b = a, on
revient à l'écritu re initiale de f (x ,y).
On a: ln (xy) -----+ 0
(x.y)-+( 1. 1)
et : ln(xy)
~
xy- 1.
(>. y ) -+ ( 1.1 )