Ainsi, le wronskien de deux solutions de
(Eo) ,qui est une équation différentielle
linéaire du second ordre, vérifie luimême une équation différentielle
linéaire du premier ordre.
Ces équivalences sont utiles.
Résolution de l'ED linéaire du premier
ordre sans second membre :
W' =-a W.
8.4 · Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre
3) Notion de wronskien
Soient x1 ,x2 : l ----+ OC deux applications dérivables sur / .
On appelle wronskien de (x 1 ,x2) l'application Wx 1 .xi : l ----+ OC définie par:
l ____ v_r_E_1,_w ~x 1 _ ,x _ 2 c _r) ~= 1 ~1 ~~~
Si x1 ,x2 sont deux solutions de (Eo) sur l alors :
1) Wx i.xi est dérivable sur let Wx' x +aWx 1 x, = 0
1' 2
' -
Preuve
1) Par opération, Wx 1 ,x 2 est dérivable sur l et :
=x i (-ax2_ - bxz) + (ax; + bx1 )x2 = - a Wx 1 .x 2 •
2) •En notant A une primitive de a sur!, il existe À E OC tel que
V t E / , Wx 1 ,x 2 (t) = Àe- A(r)
d'où l'équivalence : Wx 1 ,x 2 = 0 {::::::} (3to E / , Wx 1 ,x 2 Uo) = 0).
•Si (x1 ,xz ) est lié et, par exemple, x 1 -=/= 0 , alors il existe À E OC tel que x2 = ÀXJ ,
d'où Wri ,x 2 = XJ (Àx]) - x] (ÀXJ) =O.
•Réciproquement, supposons Wx 1 ,x 2 = 0 et XJ -=/= O. Il existe to E l tel que x1 (to) -=/= 0. Considérons
x = x1 (to)x2 - x2(to)x1 ; il est clair que x est solution de (Eo) sur 1 et que x(to) = 0 et
x' (to) = W.ti ,x 2 (to) = O. D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (8.3.2 Théorème p. 456 on
déduit x = 0, et donc (x1 ,xz) est lié.
Remarque: Le wronskien de (x 1 ,xz), où x 1 ,xz sont solutions de (Eo) sur/, est aussi le déterminant de la matrice wronskienne ((x 1 ,x] ), (xz,x2_)) au sens défini en 8.3.5 p. 459.
Utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire dans un contexte abstrait
Soient (a,b) E IR 2 tel que a < b , f,g: [a; b] -----+ IR continues.
On considère l'ED: (E) y" - fy = g, d'inconnue y: [a ; b]-----+ IR supposée deux fois dérivable sur [a; b].
On note (E 0 ) y" - f y = 0 l'équation linéaire sans second membre associée à (E).
a) Montrer qu'il existe un couple unique (u, v) de solutions de (Eo) tel que:
u(a) = v(b) = 0 et u '(a ) = v'(b) = 1.
b) On suppose que (u, v) est libre. Montrer que, pour tout (a, /3) E IR
2 , il existe une solution y et une seule de (E) telle que :
y(a) =a et y(b) = f3.
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(Eo) ,qui est une équation différentielle
linéaire du second ordre, vérifie luimême une équation différentielle
linéaire du premier ordre.
Ces équivalences sont utiles.
Résolution de l'ED linéaire du premier
ordre sans second membre :
W' =-a W.
8.4 · Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre
3) Notion de wronskien
Soient x1 ,x2 : l ----+ OC deux applications dérivables sur / .
On appelle wronskien de (x 1 ,x2) l'application Wx 1 .xi : l ----+ OC définie par:
l ____ v_r_E_1,_w ~x 1 _ ,x _ 2 c _r) ~= 1 ~1 ~~~
Si x1 ,x2 sont deux solutions de (Eo) sur l alors :
1) Wx i.xi est dérivable sur let Wx' x +aWx 1 x, = 0
1' 2
' -
Preuve
1) Par opération, Wx 1 ,x 2 est dérivable sur l et :
=x i (-ax2_ - bxz) + (ax; + bx1 )x2 = - a Wx 1 .x 2 •
2) •En notant A une primitive de a sur!, il existe À E OC tel que
V t E / , Wx 1 ,x 2 (t) = Àe- A(r)
d'où l'équivalence : Wx 1 ,x 2 = 0 {::::::} (3to E / , Wx 1 ,x 2 Uo) = 0).
•Si (x1 ,xz ) est lié et, par exemple, x 1 -=/= 0 , alors il existe À E OC tel que x2 = ÀXJ ,
d'où Wri ,x 2 = XJ (Àx]) - x] (ÀXJ) =O.
•Réciproquement, supposons Wx 1 ,x 2 = 0 et XJ -=/= O. Il existe to E l tel que x1 (to) -=/= 0. Considérons
x = x1 (to)x2 - x2(to)x1 ; il est clair que x est solution de (Eo) sur 1 et que x(to) = 0 et
x' (to) = W.ti ,x 2 (to) = O. D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (8.3.2 Théorème p. 456 on
déduit x = 0, et donc (x1 ,xz) est lié.
Remarque: Le wronskien de (x 1 ,xz), où x 1 ,xz sont solutions de (Eo) sur/, est aussi le déterminant de la matrice wronskienne ((x 1 ,x] ), (xz,x2_)) au sens défini en 8.3.5 p. 459.
Utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire dans un contexte abstrait
Soient (a,b) E IR 2 tel que a < b , f,g: [a; b] -----+ IR continues.
On considère l'ED: (E) y" - fy = g, d'inconnue y: [a ; b]-----+ IR supposée deux fois dérivable sur [a; b].
On note (E 0 ) y" - f y = 0 l'équation linéaire sans second membre associée à (E).
a) Montrer qu'il existe un couple unique (u, v) de solutions de (Eo) tel que:
u(a) = v(b) = 0 et u '(a ) = v'(b) = 1.
b) On suppose que (u, v) est libre. Montrer que, pour tout (a, /3) E IR
2 , il existe une solution y et une seule de (E) telle que :
y(a) =a et y(b) = f3.
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