8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Solution
* Détermination de SEP (A, 1)
Oo " pou'1out X = G ) E M,,, (IR) '
1
-3x + 2 y + 2z = x
XESEP(A,l) <===? AX=X <===?
-2x+y+2z=y
-2x + 2y +z = z
<===?
-2x + 2z = 0
l
-4x + 2y + 2z = 0
<===? X = y = z.
-2x +2y = 0
Ainsi , SEP(A , l) est de dimension 1 et admet pour base, par exemple, (V 1 ), où
En notant D =
(
-~l
0
-1
0
1
0 D, onadonc' A= PDP- '.
On calcule p -
1 , par exemple par résolution d'un système:
l
u=x+ y+z
<===?
v=x+ z
w =y +z
l
u=x +y+z
v=u-y
W=U-X
l
x=u-w
y=u-v
z = -u+v+w
- G) = u ~! ~!)(:)
li en résulte: p -
1 = ( ~ ~1 ~l) .
-1
l
• Notons U = p -
1 X , de sorte que X= PU. On a alors X' = PU' , car P est
constante, et :
X' = AX + B <===? PU' = PDP1 PU+ B
<===? PU' =PDU+B <===? U' =DU + P -
1 B.
En 00.,0I U = ( : ) , On.
U' =DU+ p1 B
(~}01
0
~)(:) +C,
0
~!) ( ,,~,)
<===?
-1
-1
0
1
cost
1 u' = -U + J - CO"
(1)
<===?
v' = -v + 1 - sin t
(2)
w' = w - 1 + sin t + cos t. (3)
Conseils
D est une matrice diagonale formée, sur sa
diagonale, par les valeurs propres de A, et
P est obtenue en plaçant côte à côte des
vecteurs propres de A formant base et
dans le même ordre que pour les valeurs
propres.
Dans ce passage, les lettres x,y,z, u,v ,w
désignent des réels.
On peut vérifier, par produit de matrices,
les égalités: pp - I = l3 et PDP - 1 =A.
Méthode du Cours, pour résoudre un
système différentiel linéaire du premier
ordre, à coefficients constants, avec second
membre.
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