\JJ Après calculs.
g Après calculs.
\lJ Recherche d'une trigonalisation de A.
~ Après calculs.
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0
c
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0
D Après calculs.
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0
u
8.3 ·Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Exemple:
Résoudre 1
x ' = Sx - 3y - 4z
y' = - x + y - 2:;
2
1 =X - 3y
, d'inconnue (x,y.~): R -----+ R
3 •
Notoos A = ( -: ~: =~) ; oo oalrnk le polyoôme waotfostiqoe XA de A, et oo
obtient XA (À)= - (À+ 2)(À - 4) 2 , donc les valeurs propres de A sont -2 (simple) et 4
(double). On calcule les sous-espaces propres. Le SEP (sous-espace propre) associé à 4 est
de dimeosioo 1, eogeodre pac V1 (-D. Le SEP associé • -2 est eogeod'é P"
V3 = (:). Aiosi, A o'"t pos diagooalisoble.
Oo va détormim uo vocteu' V2 = ( : ) et uo ' " ' µ
1
a - 3{3 - 4y = µ
Comme AV2 = 4V2 + µV1 ~ -a - 3{3 - 2y = -µ,
a - 3{3- 4 y = µ
et µ= 2.
Ainsi, A = PT P1
, où P = ( - :
1
1
- 1
2
4
0
~)-2
1
u'=4u + 2v
X' = AX ~ Y' = TY ~
v' = 4v
w' = -2w
La résolution de ces équations différentielles linéaires scalaires du 1er ordre donne :
w(t) = ce- 21 , v(t ) = Be 41 , u(t) = (2 Bt + A)e4
1
,
(A,B,C) E IR. 3 .
Puis X= PY, d'où:
b) Résolution de (E )
1
x(t) = (2Bt +A + B)e4
1
+ ce- 2
1
y(t) = (-2Bt - A+ B)e4
1
+ ce- 2
1
z(t) = (2Bt +A - B)e4
1
+ ce-2
1 •
Les méthodes vues en 1) b) p. 464 restent ici valables. La condition de degré obtenue
en 1) b) y) p. 464 est remplacé par :
deg(Qk) ~
l ,;;;i ,;;; N
1
Max (deg(Pi ))
nk + Max (deg(Pi))
1,;;;i ,;;; N
si mk f/. Spoc (A)
si lnk E Spoc (A)
où, dans le cas mk E Spoc (A) , nk est l'ordre de multiplicité de la valeur propre mk de A.
467