Chapitre 8 • Équations différentielles
'J Après calculs.
__!\ Ëviter ici la lettre i pour un indice, à
cause du risque de confusion avec le
nombre complexe i.
On retrouve ici le fait que So est un
IR-ev de dimension 4.
~ Souvent utilisé en Physique.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
·~ ( \ On dit que B est une exponentielle&.;,.; polynômevectorielle,cequi généralise
o
la notion d'exponentielle-polynôme
U
définie dans Analyse MPSI, 10.2.1.
'JJ Changement de fonction inconnue.
464
La matrice A, carrée d'ordre 4, admet quatre valeurs propres complexes À 1 = l , >..2 = 2,
À3 = i À4 = -i distinctes, donc est diagonalisable dans M4(1C). On calcule des vecteurs
propres associés, et on trouve respectivement :
D'après le théorème précédent, on déduit la solution générale à valeurs dans IC :
\:/ t E JR,
Les solutions à valeurs réelles sont obtenues en prenant CJ ,c2 réels et c3,q complexes
conjugués. On aboutit à :
\:/ t E JR,
(
c 1 e
1 +a cost + ,Bsin t)
CJ el + c2e21
4
X(t) =
2 1
,(CJ ,c2,a,,8) E lR .
c2e
-a sin t + ,Bcos t
b) Résolution de (E)
D'après 8.3.3 p. 456, il nous suffit de trouver une solution particulière de (E).
a) Cas où l'on dispose d'une solution évidente
Il se peut que (E) admette une solution évidente.
Exemple:
1
X
1 = X + y - Z - 1
Le système différentiel
y' = x - y + z - 1
Z
1 = - X + y + Z - 1
admet la solution évidente
(x = l ,y = l ,z = 1) .
,8) Principe de superposition des solutions
Supposons B = B 1 + ... + BN où B 1 , ••• ,BN: I----+ E sont continues et« plus
simples» que B.
Si, pour chaque i de {l, ... , N}, on connaît une solution Xi du système différentiel
N
X '= AX +Bi, alors L Xi est une solution de X'= AX + B, car:
i=I
x' = (~x} = I:X; = L
Supposons qu'il existe NE N*' m,, . .. ,mN E JK, P, ' ... 'PN E JK[X], u, ' ... 'u N E E
N
tels que: Vt E / , B(t) = Lemkt Pk(t)Uk.
k=l
Pour chaque k de { 1, ... , N} considérons le système différentiel
(Ek)
Vt E / , X'(t) = AX(t) +e'nkt Pk(t)Uk.
Effectuons dans celui-ci le changement de fonction défini par :
VtEl, Z(t)=e-mk
1 X(t),
'J Après calculs.
__!\ Ëviter ici la lettre i pour un indice, à
cause du risque de confusion avec le
nombre complexe i.
On retrouve ici le fait que So est un
IR-ev de dimension 4.
~ Souvent utilisé en Physique.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
·~ ( \ On dit que B est une exponentielle&.;,.; polynômevectorielle,cequi généralise
o
la notion d'exponentielle-polynôme
U
définie dans Analyse MPSI, 10.2.1.
'JJ Changement de fonction inconnue.
464
La matrice A, carrée d'ordre 4, admet quatre valeurs propres complexes À 1 = l , >..2 = 2,
À3 = i À4 = -i distinctes, donc est diagonalisable dans M4(1C). On calcule des vecteurs
propres associés, et on trouve respectivement :
D'après le théorème précédent, on déduit la solution générale à valeurs dans IC :
\:/ t E JR,
Les solutions à valeurs réelles sont obtenues en prenant CJ ,c2 réels et c3,q complexes
conjugués. On aboutit à :
\:/ t E JR,
(
c 1 e
1 +a cost + ,Bsin t)
CJ el + c2e21
4
X(t) =
2 1
,(CJ ,c2,a,,8) E lR .
c2e
-a sin t + ,Bcos t
b) Résolution de (E)
D'après 8.3.3 p. 456, il nous suffit de trouver une solution particulière de (E).
a) Cas où l'on dispose d'une solution évidente
Il se peut que (E) admette une solution évidente.
Exemple:
1
X
1 = X + y - Z - 1
Le système différentiel
y' = x - y + z - 1
Z
1 = - X + y + Z - 1
admet la solution évidente
(x = l ,y = l ,z = 1) .
,8) Principe de superposition des solutions
Supposons B = B 1 + ... + BN où B 1 , ••• ,BN: I----+ E sont continues et« plus
simples» que B.
Si, pour chaque i de {l, ... , N}, on connaît une solution Xi du système différentiel
N
X '= AX +Bi, alors L Xi est une solution de X'= AX + B, car:
i=I
x' = (~x} = I:X; = L
Supposons qu'il existe NE N*' m,, . .. ,mN E JK, P, ' ... 'PN E JK[X], u, ' ... 'u N E E
N
tels que: Vt E / , B(t) = Lemkt Pk(t)Uk.
k=l
Pour chaque k de { 1, ... , N} considérons le système différentiel
(Ek)
Vt E / , X'(t) = AX(t) +e'nkt Pk(t)Uk.
Effectuons dans celui-ci le changement de fonction défini par :
VtEl, Z(t)=e-mk
1 X(t),