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8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
• Pour résoudr e certaines équations fonctionnelles, on peut se ramener à une ED linéaire (ex. 8.3.4) ; à partir de
l'équation fonctionnelle, dériver pour essayer de faire apparaître une ED.
• Pour résoudre une équation faisant intervenir l'expression f ' + af (f fonction, a scalaire fixé), penser à la
fonction x 1--4 eax f (x) , dont la dérivée est x 1--4 eax (!' (x ) + af (x)) , ou à utiliser l'ED linéaire du premier
ordre/' + af = g, d' où l' on pourra exprimer f en fonction de g (et d' une constante).
8.3.1 Exercices de révision du § 10.1 d' Analyse MPSI,
équations différentielles linéaires scalaires du 1er ordre.
Résoudre les ED suivantes (variable x, fonction inconnue
y : l ~ JR, l intervalle ouvert quelconque) :
a) y' - y ln x - exln x = 0
b) (1 + x 2 )y' + xy - 1 = 0
c) (ex + e2x)y' + (2ex + e2x)y + 1 = 0
X
d)xy' + 2 y- - -
2
= 0
l +x
l
e) 2xy' +y - - - = 0
1+ x
f) 2x 2 y'+y- l=0
g) x (x + l )y' - y+ 1 = 0
h) (x
2 - 4) y' + 2xy + 6x = 0
i) lxly' + (x - l )y - x 2 = 0
j ) lx(x - l )ly' +y - x = 0
k) y'sin x - y cosx + l =O.
8.3.2 Montrer qu'il existe une application dérivable
y : ]O; +oo[ ~ lR unique telle que :
{
\:/ x E]O; +oo[, xy'(x) - (2x 2 + 1)y(x ) - x 2 = 0
y admet une limite finie en + oo,
et exprimer y (x ) à l'aide d 'une intégrale.
8 .3.3 Soient a E]l ; +oo [ et l'ED (Ea ) y' - y= x a,
d 'inconnue y :]O; + oo[ ~ lR.
a) Montrer que, pour tout À de lR , il existe une solution et
une seule JÀ de (Ea) sur ]0; +oo[ telle que :
e-x h(x)-------+ À.
x->+oo
b) Discuter, suivant le réel À, l'existence d'un réel x > 0 tel
que f{ (x) = O.
8 .3.4 Trouver toutes les applications f :]O; +oo[ ~ lR
de classe c 1 telles que :
\:/ (x,y) E]O; +oo[
2 , f (~) = f(y) - j(x) .
8 .3.5 a) Soient a E C tel que Ré (a) > O,f : lR ~ C de
classe C 1 ; on suppose !' + a f ----+ O.
+oo
Démontrer : f ----+ O.
+oo
b) Soient n E N*, f : lR ~ C de classe en, D l'opérateur
de dérivation (D : 1
), P E C[X] - {0} de degré n,
unitaire, et dont tou s les zéros sont de parties réelles < 0 ;
on suppose ( P ( D ))(f) ----+ O. Montrer: f ----+ O.
+oo
+oo
Exemple : Si f : lR ~ IC est de classe C 2 et si
! " + !' + f ----+ 0 , alors f ----+ O.
+oo
+oo
8.3.2
Existence et unicité d'une solution
Ainsi, les solutions maximales d'une
équati on différentielle linéaire du
premier ordre (normalisée) ont toutes le
même intervalle de définition.
du problème de Cauchy sur tout l'intervalle I
Nous admettons le théorème suivant.
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Soient I un intervalle de IR, A : l -----+ .C (E)
(to,Yo ) E l x E . Le problème de Cauchy (C)
continue, B : l -----+ E
{
y' = A (t) y + B(t )
y (to) = Yo
continue,
admet une solution et une seule sur l , et toute solution de (C) est restriction de cette
solution sur / .
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8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
• Pour résoudr e certaines équations fonctionnelles, on peut se ramener à une ED linéaire (ex. 8.3.4) ; à partir de
l'équation fonctionnelle, dériver pour essayer de faire apparaître une ED.
• Pour résoudre une équation faisant intervenir l'expression f ' + af (f fonction, a scalaire fixé), penser à la
fonction x 1--4 eax f (x) , dont la dérivée est x 1--4 eax (!' (x ) + af (x)) , ou à utiliser l'ED linéaire du premier
ordre/' + af = g, d' où l' on pourra exprimer f en fonction de g (et d' une constante).
8.3.1 Exercices de révision du § 10.1 d' Analyse MPSI,
équations différentielles linéaires scalaires du 1er ordre.
Résoudre les ED suivantes (variable x, fonction inconnue
y : l ~ JR, l intervalle ouvert quelconque) :
a) y' - y ln x - exln x = 0
b) (1 + x 2 )y' + xy - 1 = 0
c) (ex + e2x)y' + (2ex + e2x)y + 1 = 0
X
d)xy' + 2 y- - -
2
= 0
l +x
l
e) 2xy' +y - - - = 0
1+ x
f) 2x 2 y'+y- l=0
g) x (x + l )y' - y+ 1 = 0
h) (x
2 - 4) y' + 2xy + 6x = 0
i) lxly' + (x - l )y - x 2 = 0
j ) lx(x - l )ly' +y - x = 0
k) y'sin x - y cosx + l =O.
8.3.2 Montrer qu'il existe une application dérivable
y : ]O; +oo[ ~ lR unique telle que :
{
\:/ x E]O; +oo[, xy'(x) - (2x 2 + 1)y(x ) - x 2 = 0
y admet une limite finie en + oo,
et exprimer y (x ) à l'aide d 'une intégrale.
8 .3.3 Soient a E]l ; +oo [ et l'ED (Ea ) y' - y= x a,
d 'inconnue y :]O; + oo[ ~ lR.
a) Montrer que, pour tout À de lR , il existe une solution et
une seule JÀ de (Ea) sur ]0; +oo[ telle que :
e-x h(x)-------+ À.
x->+oo
b) Discuter, suivant le réel À, l'existence d'un réel x > 0 tel
que f{ (x) = O.
8 .3.4 Trouver toutes les applications f :]O; +oo[ ~ lR
de classe c 1 telles que :
\:/ (x,y) E]O; +oo[
2 , f (~) = f(y) - j(x) .
8 .3.5 a) Soient a E C tel que Ré (a) > O,f : lR ~ C de
classe C 1 ; on suppose !' + a f ----+ O.
+oo
Démontrer : f ----+ O.
+oo
b) Soient n E N*, f : lR ~ C de classe en, D l'opérateur
de dérivation (D : 1
), P E C[X] - {0} de degré n,
unitaire, et dont tou s les zéros sont de parties réelles < 0 ;
on suppose ( P ( D ))(f) ----+ O. Montrer: f ----+ O.
+oo
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Exemple : Si f : lR ~ IC est de classe C 2 et si
! " + !' + f ----+ 0 , alors f ----+ O.
+oo
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8.3.2
Existence et unicité d'une solution
Ainsi, les solutions maximales d'une
équati on différentielle linéaire du
premier ordre (normalisée) ont toutes le
même intervalle de définition.
du problème de Cauchy sur tout l'intervalle I
Nous admettons le théorème suivant.
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Soient I un intervalle de IR, A : l -----+ .C (E)
(to,Yo ) E l x E . Le problème de Cauchy (C)
continue, B : l -----+ E
{
y' = A (t) y + B(t )
y (to) = Yo
continue,
admet une solution et une seule sur l , et toute solution de (C) est restriction de cette
solution sur / .
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