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Chapitre 8 · Équations différentielles
Dans cet exemple, on peut obtenir une
équation cartésienne des orbites.
L'invariance dans le temps d'un système
différent iel autonome ass ure la
périodicité dès qu'une solution reprend
une valeur déjà prise.
Les lignes de niveau de la fonction
ex+y
(x, y) f-+ - - sont ici les courbes
xy
ex+y
d'équations-- = À,À E JR~ fixé.
xy
2) D'autre part, si (x, y) est solution de (S) sur un intervalle 1 de IR , on a :
y'x(l - y)= x'y(x -1 ) ,
d'où :
1 -y
x-1
- - y'= - - x'
y
X
c'est-à-dire :
y'
x '
- - y' = x '
y
X
En intégrant, puis en prenant l'exponentielle, on obtient l'équation cartésiennes des orbites :
e x+y = Àxy, À E IR~ .
Notons 'If; : JO; +oo[---+ IR, de sorte que:
U t-> e"
u
ex+y = À.Xy ~ 'l/J(x)'l/J(y) = À.
u
0
t/J'(u )
0
+oo
+
On obtient facilement le tableau des variations
de 'If;, ci-contre.
+oo
+oo
1/J(u )
~e/
À
Puisque, pour tout (À ,x ) fixé, l'équation 'ljJ(y) = ~ (d'inconnue y) admet au plus deux solu' 1-' (x)
tions, et en tenant compte de l'étude précédente, toute orbite est nécessairement une courbe fermée, et a donc l'allure du 3ème schéma plus haut.
{
x(to ) = xo
Soit C une telle orbite. Il existe to E IR tel que
( )
.
Y to = YO
{
x(t1) = xo
Considérons le plus petit réel t1 > to tel que
( )
, et notons
Y t1 = YO
T = t1 - to > O.
Puisque ('TTX ,'TT Y) est solution du problème de Cauchy en (xo,Yo). en appliquant le théorème
de Cauchy-Lipschitz, on obtient (Trx = x , Tr y =y) , donc 1 = IR et x et y sont T-périodiques.
Finalement, les orbites sont toutes fermées.
L'allure des orbites s'obtient en traçant les lignes de niveau de la fonction
ex+ y
(x ,y) r---+ - - .
xy
Chaque orbite est symétrique par rapport à la 1 ère bissectrice.
y
0
X