8.2 • Le théorème de Cauchy-Lipschitz
Preuve
Les graphes de YI et de la solution maximale Y2 du problème de Cauchy {y' = f (t ,y) ont en comy(t1) = YI (t1 )
mun le point Ct1, YI Ct1)) , donc (cf. b) Proposition) sont égaux.
( l1Wfff'Nfif.Ti' ~ ,....__ _________________________ _
Soient U un ouvert de IR x E, f : U ~ E de classe C
1 sur U. On appelle solutions maximales de l'ED y'= f(t ,y) les solutions maximales des problèmes de
Cauchy { y'( =) f(t, y) lorsque (to, yo) décrit U.
Y to = Yo
Définition dans le cas particulier d'une
équation autonome.
Soient U un ouvert de E,f : U ~ E une application de classe C
1
, x une solution
maximale de l'équation différentielle autonome (E) x' = f (x).
On appelle orbite de x la partie de x (l) de U .
On appelle orbites de (E) les orbites de solutions maximales de (E).
Utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz pour les ED autonomes
Soient l un intervalle de IR, f : IR -----+ IR de classe C
1
, y : l -----+ IR dérivable telle que y' = f o y . Démontrer que y est monotone.
Sol1diott
1) Supposons que f o y ne s'annule pas.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, puisque f o y est continue sur
l'intervalle let que f o y ne s'annule pas, f o y est de signe (strict) fixe sur/, donc
y' , qui est égale à f o y , est de signe fi xe (strict) sur / , y est monotone (strictement).
2) Supposons qu'il existe a E l tel que (f o y)(a) =O.
Alors, y et l'application constante égale à y (a ) sont solutions du même problème
1
z' = f oz
de Cauchy C)
d'inconnue z.
z (a) = y(a)
Comme l'application (x,z) r-----+ f(z) est de classe C
1 sur l'ouvert l x IR, d'après
le théorème de Cauchy-Lipschitz, le problème de Cauchy (C) admet une solution
maximale et une seule, d'où: V x E / , y(x) = y (a) .
Ceci montre que y est constante, donc monotone.
Finalement, y est monotone .
Cottseils
La monotonie éventuelle de y est liée au
signe éventuel de y', c'est-à-dire de f o y.
L'application y et l'application constante
égale à y(a ) sont définies sur l (au moins).
On a montré plus précisément que y est
constante ou est strictement monotone.
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Preuve
Les graphes de YI et de la solution maximale Y2 du problème de Cauchy {y' = f (t ,y) ont en comy(t1) = YI (t1 )
mun le point Ct1, YI Ct1)) , donc (cf. b) Proposition) sont égaux.
( l1Wfff'Nfif.Ti' ~ ,....__ _________________________ _
Soient U un ouvert de IR x E, f : U ~ E de classe C
1 sur U. On appelle solutions maximales de l'ED y'= f(t ,y) les solutions maximales des problèmes de
Cauchy { y'( =) f(t, y) lorsque (to, yo) décrit U.
Y to = Yo
Définition dans le cas particulier d'une
équation autonome.
Soient U un ouvert de E,f : U ~ E une application de classe C
1
, x une solution
maximale de l'équation différentielle autonome (E) x' = f (x).
On appelle orbite de x la partie de x (l) de U .
On appelle orbites de (E) les orbites de solutions maximales de (E).
Utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz pour les ED autonomes
Soient l un intervalle de IR, f : IR -----+ IR de classe C
1
, y : l -----+ IR dérivable telle que y' = f o y . Démontrer que y est monotone.
Sol1diott
1) Supposons que f o y ne s'annule pas.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, puisque f o y est continue sur
l'intervalle let que f o y ne s'annule pas, f o y est de signe (strict) fixe sur/, donc
y' , qui est égale à f o y , est de signe fi xe (strict) sur / , y est monotone (strictement).
2) Supposons qu'il existe a E l tel que (f o y)(a) =O.
Alors, y et l'application constante égale à y (a ) sont solutions du même problème
1
z' = f oz
de Cauchy C)
d'inconnue z.
z (a) = y(a)
Comme l'application (x,z) r-----+ f(z) est de classe C
1 sur l'ouvert l x IR, d'après
le théorème de Cauchy-Lipschitz, le problème de Cauchy (C) admet une solution
maximale et une seule, d'où: V x E / , y(x) = y (a) .
Ceci montre que y est constante, donc monotone.
Finalement, y est monotone .
Cottseils
La monotonie éventuelle de y est liée au
signe éventuel de y', c'est-à-dire de f o y.
L'application y et l'application constante
égale à y(a ) sont définies sur l (au moins).
On a montré plus précisément que y est
constante ou est strictement monotone.
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