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Chapitre 6 • Séries entières
Par exemple, de sin (a - b) =sin a cos b - sin b cos a,
on déduit:
i sh (a - b) = i sha chb - i shb cha ,
d'où :
sh (a - b) = sh a ch b - sh b ch a ,
et de cos 2z = 1 - 2 sin 2 z, on déduit : ch 2z = 1 - 2(i sh z)
2 = 1 + 2 sh
2 z.
Exercices 6.6.4 à 6.6.7.
Exemple d'équation faisant intervenir des fonctions circulaires de variable complexe
Résoudre l'équation sin z = 2, d'inconnue z E C.
Sol"tion
Soit z E IC. On a :
sin z = 2 {:::::::}
e iz _ e - iz
- - --= 2 {:::::::} e ;z _4i -e-i z = O.
2i
Notons Z = e iz_ Alors Z -:j:. 0 et :
1
sin z = 2 {:::::::} Z - 4i - - = 0 {:::::::} Z
2
- 4i Z - 1 = O.
z
On calcule le discriminant :
Li = (4i)
2 - 4 (- 1) = - 12 = (2i v'3)
2 .
d'où :
4i - 2i J3
/;:;
Z =
=(2- v3)i
2
sin z = 2 {:::::::}
ou
4i + 2i J3
/;:; .
Z =
2
= (2+v3)1.
Notons x = Ré (z), y= lm (z), de sorte que : z = x + i y , (x,y) E IR 2 .
Alors, en notant t: = ± 1, on a :
sin z = 2 {:::::::} Z = (2 + ev'3)i
{:::::::} e i (x+i y ) = (2 + evlJ)i {:::::::} e -y+ix = (2 + eJ3)i
{:::::::} e - ye i x = (2 + eJ3)e ; Î
1
e-Y = 2 +t:J3
{:::::::}
1C
X:: 2 [2rr]
{: : : : : : : } 1 y~ : ln (2 + ,,/3) ~ ln ( 2 + ~,/3) ~ ln(2 -sv'3)
X :: -
(21T).
2
On conclut que l'ensemble S des solutions de l'équation sin z = 2 dans C est :
S = { ~ + 2nrr + i ln (2 + eJ3); (t:, n) E {- 1, l} x Z} U
{ ~ + 2nJT + i ln (2 - ev'3); (t:,n ) E {-1 , l } x Z } ·
1T
Ainsi, cette équation admet une infinité de solutions. Par exemple, 2
+ i ln 2 est
solution.
Conseils
Changement d'inconnue, pour
la commodité.
Ëquation du second degré.
Utilisation de la forme trigonométrique
d'un nombre complexe.
On a : 2 + t: J3 > 0 et i = e; Î .
Congruence m odulo 2JT.