Solution
• Enfin : A (0) = 1 .
On conclut, en reportant les valeurs trouvées pour A dans l'expression de S :
1
X - l
- - + - - Argth,JX
2
2.fi
si Ü
-1
si x=O
1
X - 1
- - + -- Arctan~
2
2~
si - 1
6.5 • Développements en série entière
Conseils
La valeur de la somme d'une série entière
en 0 est son terme constant.
Pour les fonctions f suivantes, où l'on donne f (x), x variable réelle, montrer que f est développable en série entière et former le
DSE(O) de f; préciser le rayon de convergence R.
a) f (x) = ln (x
2 - ?x + 12)
sh5x
h)f(x) =--,complétée enü
shx
(
x,./2 )
c) f (x) =Arctan - - 2
•
1-x
Solution
a) On a: V x E lR, x
2 - ?x + 12 = (x - 3)(x - 4),
donc : Déf(f) =] - oo; 3[U )4; +oo[.
Ona:
V'xE]-oo;3[, f(x)= ln(C3-x)(4-x))= ln(3-x)+ ln(4-x)
= ln 3 + ln ( 1 - ~) + ln 4 + ln ( 1 - ~).
D'où:
+oo 1 (X )
11
+oo 1 (X)"
V X E] - 3; 3[, f (x) = ln 12 - f,; ~ 3 - f,; ~ 4
+oo l ( 1
1 )
=ln 12- ' "°" - - + - x".
L.; n 3
11
4 11
n= I
+oo
Autrement dit, f (x) = L a 11 x
11
,
où a 0 = ln 12 et, pour tout n ;:?: 1
n=O
a - - - - + -
1 ( 1 1)
" -
n 3 11
4 11 •
Déterminons le rayon de cette série entière.
On a, pour n ;:?: 1 : la11I = ~ (2- + 2-) ~
n 3
11
4" 1100 n3
11
Conseils
Factorisation d'un trinôme.
Déf (f) est bien un voisinage de O.
Dans un voisinage de 0, x - 3 et x - 4
sont < O. li faut donc faire apparaître 3 - x
et4 - X.
Rappel:
+oo t"
Vt E ] - 1;1[, ln(l -t)=- I : - .
11=1 n
387
• Enfin : A (0) = 1 .
On conclut, en reportant les valeurs trouvées pour A dans l'expression de S :
1
X - l
- - + - - Argth,JX
2
2.fi
si Ü
-1
si x=O
1
X - 1
- - + -- Arctan~
2
2~
si - 1
6.5 • Développements en série entière
Conseils
La valeur de la somme d'une série entière
en 0 est son terme constant.
Pour les fonctions f suivantes, où l'on donne f (x), x variable réelle, montrer que f est développable en série entière et former le
DSE(O) de f; préciser le rayon de convergence R.
a) f (x) = ln (x
2 - ?x + 12)
sh5x
h)f(x) =--,complétée enü
shx
(
x,./2 )
c) f (x) =Arctan - - 2
•
1-x
Solution
a) On a: V x E lR, x
2 - ?x + 12 = (x - 3)(x - 4),
donc : Déf(f) =] - oo; 3[U )4; +oo[.
Ona:
V'xE]-oo;3[, f(x)= ln(C3-x)(4-x))= ln(3-x)+ ln(4-x)
= ln 3 + ln ( 1 - ~) + ln 4 + ln ( 1 - ~).
D'où:
+oo 1 (X )
11
+oo 1 (X)"
V X E] - 3; 3[, f (x) = ln 12 - f,; ~ 3 - f,; ~ 4
+oo l ( 1
1 )
=ln 12- ' "°" - - + - x".
L.; n 3
11
4 11
n= I
+oo
Autrement dit, f (x) = L a 11 x
11
,
où a 0 = ln 12 et, pour tout n ;:?: 1
n=O
a - - - - + -
1 ( 1 1)
" -
n 3 11
4 11 •
Déterminons le rayon de cette série entière.
On a, pour n ;:?: 1 : la11I = ~ (2- + 2-) ~
n 3
11
4" 1100 n3
11
Conseils
Factorisation d'un trinôme.
Déf (f) est bien un voisinage de O.
Dans un voisinage de 0, x - 3 et x - 4
sont < O. li faut donc faire apparaître 3 - x
et4 - X.
Rappel:
+oo t"
Vt E ] - 1;1[, ln(l -t)=- I : - .
11=1 n
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