Chapitre 6 • Séries entières
1 Preuve
,.
Revoir la définition de la série numérique
\J., produit de deux séries numériques,
§4.4.2 4).
Soit z E C tel que lzl < Min(Ra, Rb). Considérons la série numérique produit L Wn des séries numén;;:.O
riques L an Zn et L bn zn :
n;;.O
n;;.O
'Vn EN,
11
(
n
)
k
11 -k
n
n
Wn = L GkZ bn - kZ = L Gkbn - k Z = CnZ .
k=O
k=O
'a Cf.4.4.2 4) Théorème.
Puisque lzl < Ra et lzl < Rb , les séries numériques La11 z
11 et Lb11 z 11 sont absolument
11 ;;.0
11 ;;.0
'
Il n'y a donc pas, pour le produit de deux
séries entières, de résultat analogue à
celui relatif à la somme de deux séries
entières de rayons différents, cf. § 6.2.1
Prop.22).
Schématiquement :
1
- - (1- z) =
1
1 - z '-,---' "-..-'
'-v-' rayon OO
rayon oo
rayon 1
convergentes, donc, par produit, la série numérique L w 11 est absolument convergente et :
11 ;.0
+oo (+oo )( +oo )
~ w11 = ~ a11 z
11
~ b11 z
11 . Il en résulte: {
lzl ~ Re
Sc(Z) = Sa (z)Sb(Z).
Ceci montre le résultat annoncé.
Remarque: li se peut que Re =F Min( Ra , Rb), même si Ra =F Rb.
{
Vn EN, a 11 = 1
Exemple:
bo=l , b1=-l, ('Vn~2,b 11 =0).
On a ici:
• Ra = 1, Rb = oo
{
co = 1
• V n EN*, C11 =ÜI,
donc Re= OO
•'Vz EC, (1zl < 1===}(sa(z)= 1
~z' Sb(Z) = 1-z, Sc(z) = 1)).
•
Les méthodes à retenir
~
Opérations sur les séries entières
c
::J
o
• Pour déterminer le rayon de convergence d'une série entière dont le terme général contient le facteur n (ou
(V)
......
0
N
@
.j.J
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
370
à peu près) au numérateur ou au dénominateur, se rappeler qu'une série entière a le même rayon de convergence que sa série entière dérivée (ex. 6.2.1).
• Pour permuter deux symboles L dans un contexte de séries entières, on pourra essayer d'appliquer le
théorème de Fubini sur les séries doubles(§ 4.3.11 2)) (ex. 6.2.3). Voir aussi la rubrique« Les méthodes à retenir » p. 282.