6.2 • Opérations sur les séries entières
6.2 Opérations sur les séries entières
6.2.1
Produit d'une série entière par un
complexe fixé.
Produit d'une série numérique par un
complexe fixé.
Q Examen du cas À= O.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
b ·;::
>- 0.
0
u
Somme de deux séries entières.
l
Structure vectorielle
Soient À E C* et L anzn une série entière de rayon noté Ra, de somme notée Sa.
n ;;,O
Considérons la série entière LÀanzn, de rayon noté R Àa, de somme notée SÀa·
n ;;,O
Ona:
{
RÀa =Ra
V z E C , (lzl < Ra ==::::} SÀa(z) = ÀSa(z) ).
Preuve
Soit z E 11 converge, donc la série numérique L Àa 11 z
11
n;;,O
n;;,O
+oo
+oo
converge et: L Àa11 z
11 =À L a 11 z
11
•
n=O
n=O
Ceci montre : {
RÀa ~ Ra
Vz E C, ( lzl < Ra===} S).a (Z) = ÀSa(z)).
En appliquant le résultat précédent à ( ~ , (Àa 11 ) 11 ) au lieu de (À , (a 11 ) 11 ), on déduit aussi Ra ~ R).a, et
finalement RÀa = Ra.
Remarque: Trivialement, avec les notations précédentes, si À= O,alors RÀa = oo et SÀa =O.
Mais la valeur 0 de À peut ne pas être apparente, du fait que À peut dépendre de paramètres.
'°' lnt
Par exemple, pour tout t E IR~ fixé, le rayon de convergence de la série entière L., -z" est
n;;, I n
1 si t i- 1, oo si t = l.
On appelle série entière somme de deux séries entières L anz
11
, L bnzn , la série
entière L(an + b 11 )zn.
n ;;,O
n ;;,O
n ;;,O
Soient L anzn, L bnZ
11 deux séries entières de rayons et de sommes respectiven;;,o
n;;,o
ment notés Ra.Rb et Sa.Sb, et L (an+ bn) zn la série entière somme, de rayon et
n ;;,O
de somme notés Ra+b, Sa+b·
1) On a: {
Ra+b ~ Min(Ra , Rb)
Vz E C, (l zl < Min(Ra, Rb) ==::::} Sa+b(Z) = Sa(z) + Sb(z) ).
2) De plus, si Ra # Rb, alors Ra+b = Min(Ra, Rb).
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