t
0
..c:
o.
j
6.1.1 Déterminer le rayon de convergence des séries
entières suivantes :
-
a) L ( ;/n 3 + n + 2 - JnI+l) Zn
n;;.O
-
2
b) '""' n + n n
L 211 +n'z
n;;.O
·
-
2
d) L ln ( ;1 -1 ) zn
n;;.2
n + n + 2
- f) l:On n)
11 z
11
n ;;. l
••
( n+ 2 )ln n
h) L
- -
Zn
>- l 2n+ l
n 7
J) L ( (n + 1) * - n , ,!1 ) zn
n;;, I
p) L tan(rrJ n 2 + 3n + 2) zn
n;;.O
- -
1
q) L lsin ( rr;/n3+ 1) 1
3 zn
n ;;. l
• )• '""' 1 n2
t L - z
n2
n;;. I
)
'""' ln (.fa + 1)
C L
Zn
n;;. 2 ln(.fa - 1)
e) Z:c.fa)''z
11
n;;, 1
g) L ( eJn+f - ev'iï) z
11
n;;.O
i) L (ln n) lnn zn
n;;,2
k) L (ln (n!)) 2 zn
n;;.O
m) z= e- shnzn
n;;.O
o) L ,\'.ln sh n zn
n;;. 1
••
( l (
1
l ))n
4
u) L - ch - + cos - zn
n;;. I 2
n
n
:; L ( Arccos (1 -~ - _!_)) z
11
n;;. 1
n
n2
• ) '""'
In n
W L
Zn
n;;. I Jn 3 +n+ l
: ; L.
((Arcsi n n,,/3 ) _ ~)zn
n;;.O
2n + 1
3
••'""' ( rr
n,,/3 )
y) L sh - - Arctan - - z"
n;;.O
3
n + l
n
Z: chk
z) L k= I Zn
nen
n;;, l
6.1 • Rayon de convergence
b ') '""'
2
sm x
- -
(
!!.
• 2
L
dx z"
n;;. 1 Io n 2 + sin
2 x
)
•• ' ""' (f,+oo dx )
c~ L
n
n;;.2
"
x3 - X - 1 Z
-~
( /
·\/ (n+ l )rr
)
d ') L
sin(x
2 ) dx zn
n;;.O
.Jiïii
•(-l)n
e') '""'
n
L
n a+(-l )"z , aEIR
""''
- -
n.
f) L 1
: b" z" , (a,b) E (IR~)
2
n;;.O
~~ l:: Arccos (1- ~) z n , a E [l ; +oo[
n;;. I
n
:~ '""' (ln (n!))a n
L
(n!)h z ,
n;;. I
·•) '""' - (ln n)" n
c L e
z,
n;;,2
• •
a
j') L n z",
(ln n)ln n
n;;.2
(a,b) E IR 2
aE IR
k') L (na)nb Zn'
n;;. l
(a, b) E IR
2
•• ( a)bnc
!') L 1 +-;; Zn, (a ,b ,c) E IR* x IR* x IR
n;;. I
-~) '""' (sh n)a n
2
m L - -z
(a ,b) E IR
n;;. I (ch n)h ,
n') L a"b Zn , (a ,b) E IR~ x IR
n;;. I
o') '""' e L
z, a E IR
n;;.O
a E IR
a E IR
a E IR.
6.1.2 Quel est le rayon de L (in (- l)n +.fa) z" ?
n;;,2
.Jfi+1
Déterminer la nature de la série pour z = 1 , pour z = - J .
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