,.
Rappelons (cf. 2.3.4 2) Rem.) que, pour
\.J_... g E C([a; b],E),onnote:
llgl li = N 1(g) = 1 bllg(t) lldt.
'? La notation 10; xi désigne:
\J......
[O; x l six ;?: 0
[x ; O] si x ~ O.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.j,,,J
.s::
.21 \ On sait:
L.. •
>-- _.......
g:
V t E JR,
u
5.3 · Séries d'applications
Soit LUn : [a; b]-----* E) une série d'applications continues convergeant normalen ;,O
+oo
ment sur [a; b]. Alors, L 11Jnll1 converge dans IR., L fn est continue sur [a ; b],
n ;,O
n=O
+oo
J
~ z:=111n11,.
n=O - - -
+oo
L::1n
n = O
Preuve
Puisque, pour tout n de N, ll fn ll 1 = 1b llfn (t) ll dt ~ (b -a)ll fn lloo . et que L ll fnl loo converge,
a
n;,O
L 11 fn 11 1 converge.
n;,O
+oo
+oo
D'autre part, d'après le théorème précédent, L fn et L (t f-+ 11 fn (t) 11) sont continues sur [a ; b],
n=O
n=O
L lb fn et L lb ll fn (t) ll dt convergent (dans E et IR respectivement), et:
n;,O a
n;,O a
Exemple
Montrer : Vx E R,
+. :x., 11'
L - t"e
1 dt = x .
Il ,o Il! 0
Soit x E IR fixé. Considérons la série d'applications L ln définie par : ln : IO; x 1 -----+ IR .
n;,O
t" e1
t f-+ - -
n!
(
lxl"e lxl )
lx ln
Comme Vn E N, llf, 1 11 00 ~ - - 1
-
, et que L.:-, converge, on déduit que L fn
n.
n;,O n.
n;,O
converge normalement, donc uniformément, sur 10; x 1.
+oo
D'après le théorème précédent, la somme L ln est continue sur 10; x i, la série numérique
n=O
L fox f,, (t) dt converge, et:
n;,O O
+oo 1x
1x ( +oo ) 1x ( +oo t" )
1x
L f,,(t) dt= L J,,(t) dt= Ln! e -
1 dt=
e
1 e1 dt= x .
11= 0 0
0
11= 0
0
11= 0
0
Remarque : Il se peut, dans d'assez nombreux exemples, qu'on puisse« permuter » les deux
{b +oo
symboles ln et L sans qu'il y ait convergence uniforme.
a
n=O
Soit LCf,, : [a ; b] -----+ E ) une série d'applications continues sur [a ; b] et convergeant simn;,O
plement sur [a; b].
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