5.3 ·Séries d'applications
• Il se peut que le théorème du § 5.3.2 p. 325 ne s' applique pas, par exemple parce que la série des limites diverge:
Vn E N, ln (x) -----+ ln et '"' l n diverge.
x ---+a
L...,,
n ;;, I
• Pour montrer S(x) -----+ + oo, où S désigne la somme de la série, si les ln sont toutes à valeurs dans IR!.+ et si
x---+ a
L ln converge simplement, on peut alors raisonner de la façon suivante (cf. la solution de l'exercice 5.3.17 c)) :
n ;;,O
N
pour tout A > 0 fixé, il existe N E N tel que : L l n ~ A+ 1,
n=I
N
N
puis, comme : '"' ln(X) -----+ '"' ln ,
L_,
X---+ a L_,
n = I
n = I
+oo
N
on a, au voisinage de a: S(x) = L ln(x) ~ L ln(x) ~ A ,
n = I
n = I
et on conclut: S(x) -----+ +oo.
x ---+ a
5.3.16 On note, pourn E N, fn : (1~+ )
2
----+ IR
1 + x2n
(x,y) r----+
2
1 +Y n
a) Déterminer l'ensemble D de convergence si mple de
L: 1n.
n;;,O
+oo
b) Montrer que la somme S = L fn est continue sur D.
n=O
5.3.17 a) E tudier les convergences de L fn , où
f n : IR+ ----+ IR
X r----+
ln ( ! + nx)
nxn
+oo
On note S = L fn.
n= 1
b) Montrer que S est continue sur ]1 ; +oo[.
c) Montrer: S(x) ~ + oo.
X-* ] +
5.3.18 a) Soit cp : IR ----+ IR définie par :
'Vt E IR, cp(t) = E(t) + (t - E(t))2.
n;;, 1
Etudier et représenter graphiquement 2-lipschitzienne.
b) Pour n E N*, on note / 11 : IR ----+ IR l'application définie
par:
'Vx E IR,
cp (nx)
f11(X) = 2
·
n (n + l )
Etudier les convergences de L fn· Montrer que la
n;;, 1
+oo
somme S = L fn est continue et 2-lipschitzienne.
n= I
5.3.19 a) Etudie r les convergences de L /11 , où
(-l)n
fn : Z E C r----+ - -.
n+ z
+oo
b) Montrer que la somme S = L fn est continue sur
n=O
U= C - '.L .
5.3.20 Soit g : IR+ ----+ IR une application continue,
décroissante, telle que lim g = O.
+oo
On note, pour n E N, fn : IR+ ----+ IR
x ~g (n) -g(n+x)
a) a) Soit x E IR+ ; montrer que les sommes partielles de
la série L fn (x ) sont majorées par
n;;,O
d'un certain rang.
E (x )
L g (p), à partir
p=Ü
f3) En déduire que L fn converge simplement sur IR+ .
n;;,O
On note S : IR+ ---+ IR
+oo
X I--> L fn (x)
11=0
b) Etablir que S est croissante sur IR+ .
c) Montrer: 'Vx E IR+, S(x + 1) - S(x) = g (x).
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