Chapitre S ·Suites et séries d'applications
5.3.3
1
'? \ X estunepartienonvided'un lK-evn F
\..,;.) de dimension finie; E est un IK-evn de
dimension finie.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
326
On peut conclure dans cet exemple
essentiellement parce que S (x) est
calculable.
En pratique, souvent X est un intervalle
de ~- Dans ce cas, L f,, converge
n;;:o
localement uniformément sur X si et
seulement si L f,, converge
n~O
uniformément sur tout segment inclus
dans X.
Remarque : La troisième partie de la conclusion du Théorème peut s'exprimer par:
+oo
on permute lim et~ :
X-----*Q
~
n=O
lim ( ~ fn(x)) = ~ ( lim f,,(x)).
x-a ~
~ x-a
n=O
n=O
Convergence uniforme et continuité
On garde ici les notations de 5 .1.2 p. 292.
Soient a E X, L Un : X -----+ E) une série d'applications.
n ;;:O
alors
Preuve
pour tout n de N, fn est continue en a
L fn converge uniformément sur X ,
n ;;:O
+oo
L fn est continue en a.
n=O
n
Il suffit d'appliquer le Théorème de 5.1.3 p. 293 à la suite (Sn)n ;;:O des sommes partielles, Sn = L fk.
k=O
Remarque: Par contraposition, le Théorème précédent permet dans certains exemples, de
montrer la non-convergence uniforme. Par exemple, L fn, où fn : IR -----+ IR , converge
Xr--+--Xn ;;,0
(1 +x2)"
simplement sur IR , mais non uniformément sur IR car chaque fn est continue en 0 et la
somme S n'est pas continue en 0 puisque:
+oo
X
1
Vx E IR* , S(x) = ~
= x · - - -
1
-
~ (1 +x2)'1
1- - -
1 +x 2
Soit L Un : X -----+ E) une série d'applications.
n ;;,O
I
• pour tout n de N, fn est continue sur X
Si
• L f n converge uniformément sur X ,
n ;;,O
+oo
alors L fn est continue sur X.
n=O
1 +x 2
X
Comme lors de l'étude des suites d'applications p. 294, il arrive souvent qu'il n'y ait pas convergence uniforme de L fn sur X, mais qu'il y ait convergence uniforme sur certaines parties
n;;:O
de X. D'où la définition suivante.
Soit L Un : X ----+ E) une série d'applications.
n ;;:O
On dit que L fn converge localement uniformément sur X si et seulement si
n;;:o
L f n converge uniformément sur toute partie compacte de X.
J
n ;;:O
.
5.3.3
1
'? \ X estunepartienonvided'un lK-evn F
\..,;.) de dimension finie; E est un IK-evn de
dimension finie.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
326
On peut conclure dans cet exemple
essentiellement parce que S (x) est
calculable.
En pratique, souvent X est un intervalle
de ~- Dans ce cas, L f,, converge
n;;:o
localement uniformément sur X si et
seulement si L f,, converge
n~O
uniformément sur tout segment inclus
dans X.
Remarque : La troisième partie de la conclusion du Théorème peut s'exprimer par:
+oo
on permute lim et~ :
X-----*Q
~
n=O
lim ( ~ fn(x)) = ~ ( lim f,,(x)).
x-a ~
~ x-a
n=O
n=O
Convergence uniforme et continuité
On garde ici les notations de 5 .1.2 p. 292.
Soient a E X, L Un : X -----+ E) une série d'applications.
n ;;:O
alors
Preuve
pour tout n de N, fn est continue en a
L fn converge uniformément sur X ,
n ;;:O
+oo
L fn est continue en a.
n=O
n
Il suffit d'appliquer le Théorème de 5.1.3 p. 293 à la suite (Sn)n ;;:O des sommes partielles, Sn = L fk.
k=O
Remarque: Par contraposition, le Théorème précédent permet dans certains exemples, de
montrer la non-convergence uniforme. Par exemple, L fn, où fn : IR -----+ IR , converge
Xr--+--Xn ;;,0
(1 +x2)"
simplement sur IR , mais non uniformément sur IR car chaque fn est continue en 0 et la
somme S n'est pas continue en 0 puisque:
+oo
X
1
Vx E IR* , S(x) = ~
= x · - - -
1
-
~ (1 +x2)'1
1- - -
1 +x 2
Soit L Un : X -----+ E) une série d'applications.
n ;;,O
I
• pour tout n de N, fn est continue sur X
Si
• L f n converge uniformément sur X ,
n ;;,O
+oo
alors L fn est continue sur X.
n=O
1 +x 2
X
Comme lors de l'étude des suites d'applications p. 294, il arrive souvent qu'il n'y ait pas convergence uniforme de L fn sur X, mais qu'il y ait convergence uniforme sur certaines parties
n;;:O
de X. D'où la définition suivante.
Soit L Un : X ----+ E) une série d'applications.
n ;;:O
On dit que L fn converge localement uniformément sur X si et seulement si
n;;:o
L f n converge uniformément sur toute partie compacte de X.
J
n ;;:O
.