Chapitre 4 • Séries
Interversion des deux sommations
d'indexation finies toutes les deux.
'J Échange des rôles de pet q.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
'
276
On ne peut pas remplacer la condition de
convergence de la série
par la convergence de la série
L l ~up. ql
q ~O p=O
cf. exercice 4.3.27.
+oo
Notons, pour tout q E N : Tq = L u p.q.
p=O
•On a, pour tout ( P , Q) E N 2 :
Q
Pour Q E N fixé, en faisant tendre l'entier P vers l'infini, on déduit: L Tq :=:;; U.
q=O
Ceci montre que les sommes partielles de la série L Tq, qui est à termes dans IR+ , sont majorées par U.
q ~O
D'après le lemme fondamental , il en résulte que la série L Tq converge et que sa somme, notée V, vériq ~o
fie: V :::;; U.
•En appliquant le résultat précédent à la suite double (u q.p)(J>.q )eN2, on a aussi U :=:;; V, d'où finalement
U= V.
2) Cas des séries à termes dans IK
Théorème d'interversion des sommations, théorème de Fubini
Soit (up ,q )(p ,q)EW une suite double à termes dans OC.
Si
alors
•Pour tout p EN, la série L up ,q est absolument convergente
q ~ O
+oo
• La série L ( L 1 u p ,q 1) est convergente
p ~O
q=O
• Pour tout q E N, la série Lu p,q est absolument convergente
p ~O
+oo
•La série L ( L lup,q 1) est convergente
q ~ O
p=O
+oo
+oo
•Les séries L(L up ,q ) et L(L u p,q ) sont absolument convergentes
p ~O q=O
q ~O p=O
Preuve
Supposons que, pour tout p E N, la série L u p,q est absolument convergente, et que la série
q ~O
L ( ~ lup.q l) est convergente.
p~O
q=O
•On peut appliquer le théorème d'interversion du§ I ) à la suite double (lu p.q 1) (p.q)eN 2 • Il en résulte que,
pour tout q E N, la série L luM 1 est convergente, c'est-à-dire que la série L up.q est absolument
p ~
p~
convergente, donc convergente, et que la série L ( ~ lu p.q 1 ) est convergente.
q~ O
p=O