(i)Toutvoisinagede a contient a
(ii) Toute partie contenant un voisinage
de a est elle-même un voisinage
de a
(iii) L'intersection d'un nombre fini de
voisinages de a est un voisinage
de a.
o n]-~;~ [=101
'tJJ neN•
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
et (0) n'est pas un voisinage de 0
dans IR.
....................... ········· ....... .
:
- ....
< a· A b.
·· ............ · ·· ........... ··
1.1.5
Ainsi, Q est un ouvert de E si et
seulement si Q est voisinage (dans El
de chacun de ses points.
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
(i)
(ii)
VV E VE(a) , a E V
VVE VE(a), VW E ~(E), (V C W ==:::} W E VE(a))
n
(iii) Vn E N*, VV1, ... , Vn E VE(a), n Vi E VE(a).
i=I
Preuve
(i) et (ii) : immédiat.
(iii) Puisque V. , ... , Vn E Ve(a) , il existe r 1 , ••• ,rn dans lR";. tels que:
En notant r = Min ri,
l ~;i ~n
Remarques:
'Vi E {l , . .. ,n}, B(a; ri) CV;.
n
n
on a r > 0 et B(a; r) = n B(a; r;) c n V;.
i=I
i= I
•
1) La propriété (ii) ci-dessus montre que, pour toute famille (V;); Et de voisinage de a, LJ V;
iE I
est un voisinage de a.
2) L'intersection d'une famille infinie de voisinages de a, peut ne pas être un voisinage de a,
comme le montre l'exemple(] -~;~ [) dans lR. usuel.
n n
11e N•
Soit (a,b) E E 2 tel que a# b; il existe VE VE(a) et W E VE(b) tels que Vn W = 0
l On dit que tout evn est séparé.
J
Preuve
'
1
Il suffit de prendre V = B(a; r), W = B(b; r) , ou r = 2.d(a,b).
•
Voisina9es d'un point dans un!Partie
--Soient A E ~(E), a E A, V E ~(A). On dit que V est un voisinage de a dans A si
et seulement s'il existe V1 E VE (a) tel que V = Vi n A.
On note V A (a) l'ensemble des voisinages de a dans A.
Remarque: Soient A E sp(E) , a E A , VE sp(A); V est un voisinage de a dans A si et
seulement si: 3 r > 0, B(a; r) n A c V
Ouverts, fermés
Soient (E,11-11) un JK-evn, d la distance associée à 11-11 -
1) Ouverts
Une partie Q de E est dite ouverte (dans E) si et seulement si :
Vx E Q, Q E VE(X).
l On dit aussi que Q est un ouvert (de E).
,,
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