-0
0
c
:J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
274
Chapitre 4 • Séries
Solution
1
h) L'application f : [0; +oo[ ---+ IR, x f----'> f (x) = 3 est décroissante et intéx
grable sur [l; +oo[, donc, pour tout n E N* :
f.
+oo 1
+oo 1
f. +oo 1
3 dt ~ L 3 ~ 3 dx.
n+ I X
k=n+ I n
n
X
On calcule:
f.
+
00 1
[x - 2 ] +
00
- dt- -
- -
'
x 3
-
- 2 11 - 2n 2 ·
f.
+oo 1
1
Comme
-
3
dt =
2
n+ I X
2(n + 1) 1100
1
-
2
, on déduit, d'après l'encadrement :
2n
+oo 1
L k 3 .~ 2n2·
k=n+I
1
1
3) Puisque v 11 - v,, _ 1 ~ -
3
> 0 , et que la série'""' -
3
est convergente, d 'après
1100 8n
L..., 8n
Il
Conseils
Comparaison série/intégrale, cf.§ 4.3.7 1) a)
Corollaire.
Les deux extrêmes de l'encadrement sont
ici équivalents entre eux et équivalents à
1
2n 2 ·
le théorème de sommation des relations d'équivalence dans le cas des séries Cf. § 4.3.9 1) Proposition 3.
convergentes, on a :
D'une part, pui sque vk ---+ 0 , on a, pour tout n fixé :
koo
+oo
N
L (vk - Vk- 1) = VN - v,,
k=11+ I
donc L (vk - Vk - 1) = -V11 .
k=11+ I
+oo
D'autre part, d'après b) 2): L Sk 3 ~ - -
1100 16n 2 ·
k=n+ I
1
On déduit : v 11 ~ - - - , et on conclut :
1100
16n 2
---+
Noo
S11 =n+ ln2 +v11 =n+ ln2 - ~ +o (.~)·
16n
n
Les méthodes à retenir
Sommation des relations de comparaison
Télescopage.
• Pour obtenir des comparaisons (o. 0, ""') sur des sommes partielles de séries divergentes ou des restes de
séries convergentes, on pourra essayer d' utiliser les théorèmes de sommation des relations de comparaison (ex.
4.3.23 à 4.3.25).
Avec les notations des théorèmes du§ 4.3.9, ne pas oublier de vérifier que les Vn sont dans IR+ .
• Pour obtenir un équivalent simple d'une somme partielle de série divergente ou de reste de série convergente, on peut essayer de faire intervenir une comparaison série-intégrale (ex. 4.3.22 a) p. 269).
0
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Chapitre 4 • Séries
Solution
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h) L'application f : [0; +oo[ ---+ IR, x f----'> f (x) = 3 est décroissante et intéx
grable sur [l; +oo[, donc, pour tout n E N* :
f.
+oo 1
+oo 1
f. +oo 1
3 dt ~ L 3 ~ 3 dx.
n+ I X
k=n+ I n
n
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On calcule:
f.
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1
Comme
-
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n+ I X
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1
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2
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2n
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L k 3 .~ 2n2·
k=n+I
1
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3) Puisque v 11 - v,, _ 1 ~ -
3
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3
est convergente, d 'après
1100 8n
L..., 8n
Il
Conseils
Comparaison série/intégrale, cf.§ 4.3.7 1) a)
Corollaire.
Les deux extrêmes de l'encadrement sont
ici équivalents entre eux et équivalents à
1
2n 2 ·
le théorème de sommation des relations d'équivalence dans le cas des séries Cf. § 4.3.9 1) Proposition 3.
convergentes, on a :
D'une part, pui sque vk ---+ 0 , on a, pour tout n fixé :
koo
+oo
N
L (vk - Vk- 1) = VN - v,,
k=11+ I
donc L (vk - Vk - 1) = -V11 .
k=11+ I
+oo
D'autre part, d'après b) 2): L Sk 3 ~ - -
1100 16n 2 ·
k=n+ I
1
On déduit : v 11 ~ - - - , et on conclut :
1100
16n 2
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S11 =n+ ln2 +v11 =n+ ln2 - ~ +o (.~)·
16n
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Les méthodes à retenir
Sommation des relations de comparaison
Télescopage.
• Pour obtenir des comparaisons (o. 0, ""') sur des sommes partielles de séries divergentes ou des restes de
séries convergentes, on pourra essayer d' utiliser les théorèmes de sommation des relations de comparaison (ex.
4.3.23 à 4.3.25).
Avec les notations des théorèmes du§ 4.3.9, ne pas oublier de vérifier que les Vn sont dans IR+ .
• Pour obtenir un équivalent simple d'une somme partielle de série divergente ou de reste de série convergente, on peut essayer de faire intervenir une comparaison série-intégrale (ex. 4.3.22 a) p. 269).