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268
Chapitre 4 • Séries
Résultat important.
Cette Proposition sera aussi utilisée pour
montrer la convergence uniforme de
certaines séries d'applications (voir
§ 5.2.1 Exemple 4)).
1
En particulier: 0 ::::; R31 ::::; 2" · 10- 6
31 (
. k)-k
1
• S31 = L 2 + si: c:::: 0 ,809509 à 2 · 10- 6 près à la calculette.
k=I
+oo (
sinn) - n
•On conclut : L 2 + - - c:::: 0,809509 à io- 6 près.
n=1
n
c) Séries relevant du TSCSA
Supposons que L un relève du TSCSA (cf. 4.3.5 p. 250), c'est-à-dire :
n;;.O
1
Lu, , est alternée
11;;.0
u,, ----+ 0
11 00
(lu,, 1) 11 Ef\I décroît.
+oo
On a vu (4.3.5 p. 250) qu'alors, pour tout n de N, la somme S = L Uk est comprise entre les
k=O
sommes partielles S,, et Sn+l ·d'où: IR,, I = IS - s,, 1::::; ISn+l - Sn l = lu,,+1 I.
1 R,, I
1Un+ 1 1
On obtient ainsi la Proposition suivante.
Si la série réelle L un relève du TSCSA, alors :
n ;;.O
+oo
où Rn = L Uk est le reste d'ordre n.
k=n+I
Exemple:
Soit a E IR'f- fixé. Puisque la série de Riemann alternée ' "°' (-l)" relève du TSCSA, on a :
L..., na
n;;,1
\ln E N,
L
" --1
+oo (-l)k 1,,,
k=n+I ka
....,, (n+l)a